Dãy số (Un) xác định như sau: $\left\{ \begin{array}{l} U_1 = a,U_2 = b \\ U_{n + 2} = pU_{n + 1} + qU_n ,n = 1,2,3.... \\\end{array} \right.$. hãy tìm CTTQ $U_n = ?$. Ta làm như sau:
1. Đầu tiên ta chứng minh nếu t?#8220;n tại dãy trên thì nó là !.
Thật vậy, giả sử có 2 dãy (Un) và (Un') thỏa mãn đề bài.
Có U1=U1'=a, U2=U2'=b. Vì thế theo công thức trong bài suy ra U3=U3', U4=U4',.......,Un=Un'.
Vậy dãy số trên t?#8220;n tại duy nhất.
2. Xét phương trình bậc 2 $x^2 - px - q = 0$ delta = $p^2 + 4q \ge 0$ (đầu bài) nên phương trình có 2 nghiệm là x1, x2.
Giả sử rằng: $V_n = \alpha x_1^n + \beta x_2^n$.
Xét $V_{n + 2} = \alpha x_1^{n + 2} + \beta x_2^{n + 2} $.
Mặt khác ta có $pV_{n + 1} + qV_{n + 1} = p(\alpha x_1^{n + 1} + \beta x_2^{n + 1} ) + q(\alpha x_1^{n + 1} + \beta x_2^{n + 1} )$ (**)
x1, x2 là nghiệm của phương trình $x^2 - px - q = 0$ nên ta có
$\left\{ \begin{array}{l} x_1^2 - px_1 - q = 0 \\ x_2^2 - px_2 - q = 0 \\\end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_1^{n + 2} = px_1^{n + 1} + qx_1^n \\ x_2^{n + 2} = px_2^{n + 1} + qx_2^n \\ \end{array} \right.$.
Thay lại vào (**) suy ra $pV_{n + 1} + qV_{n + 1} = \alpha x_1^{n + 2} + \beta x_2^{n + 2}$ (***)
Từ và (***) suy ra $V_{n + 2} = pV_{n + 1} + qV_{n + 1}$.
Bây giờ chỉ cần tìm được $\alpha ,\beta$.
$\left\{ \begin{array}{l} V_1 = a \\ V_2 = b \\\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha x_1 + \beta x_2 = a \\\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 = b \\\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\alpha = \dfrac{{x_2 ({\rm{ax}}_2 - b)}}{{p(x_1 - x_2 )}} \\\beta = \dfrac{{x_1 ( - {\rm{ax}}_1 + b)}}{{p(x_1 - x_2 )}} \\\end{array} \right.$
Đi đến CTTQ: $U_n = \dfrac{{({\rm{ax}}_2 - b)x_2 }}{{p(x_1 - x_2 )}}x_1^n + \dfrac{{(b - {\rm{ax}}_1 )x_2 }}{{p(x_1 - x_2 )}}x_2^n$.
phương trình bậc 2 $x^2 - px - q = 0$ gọi là phương trình đặc trưng của dãy (Un) nói trên.
**********************************
Tui viết còn thiếu sót chỗ nào các bạn góp ý thêm giùm!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongtu093tk: 20-06-2008 - 21:50