Chủ đề này có 11 trả lời

[Cuong12giaitich]

Các bạn giải hộ mình bài tập này nhé. "Chứng minh rằng nếu nhóm G chỉ có duy nhất một phần tử cấp 2 thì G là nhóm Abel"

[pascal]

Bài này đơn giản thôi mà bạn .
ord(a)= 2 thì a^2=e ...==> nhóm Abel

[Cuong12giaitich]

Bài này đơn giản thôi mà bạn .
ord(a)= 2 thì a^2=e ...==> nhóm Abel

Nhưng bạn ơi, nhóm chỉ có duy nhất một phần tử cấp 2 thôi mà, có phải tất cả đâu.

[pascal]

vậy à ???
Nếu có một phần tử duy nhất a cấp 2 thì nếu a^2 = a thì nó vẫn là Abel , và ngược lại...
Bạn có nghĩ vậy ko?

[nemo]

vậy à ???
Nếu có một phần tử duy nhất a cấp 2 thì nếu a^2 = a thì nó vẫn là Abel , và ngược lại...
Bạn có nghĩ vậy ko?

Không hiểu bạn định nói gì, phần tử a có cấp 2 khi http://dientuvietnam...metex.cgi?a^2=e chứ đâu phải http://dientuvietnam...metex.cgi?a^2=a !?
Bài toán, nếu tất cả các phần tử đều có cấp 2, chứng minh nhóm Abel tương đối đơn giản vì http://dientuvietnam...b=a^2b^2=ab=(ab)^2=abab http://dientuvietnam...etex.cgi?ab=ba. Với bài toán này, tính chất duy nhất có vẻ định hướng cho ta đi tìm nhóm như thế và những nhóm như vậy có lẽ rất đặc biệt chẳng hạn như chỉ có hai phần tử là a và e. Riêng với mình phản xạ đầu tiên với bài toán này là một chút nghi ngờ !

[pascal]

bạn à , mình nghĩ nếu mà G chỉ có 1 phần tử duy nhất cấp 2 thì tức là G là 1 nhóm tầm thường G ={e} với ord(e)= 2 . vậy thì G cũng là Abel .
Vì thế mình mới viết là tồn tại a sao cho a^2=a đó .

[nemo]

bạn à , mình nghĩ nếu mà G chỉ có 1 phần tử duy nhất cấp 2 thì tức là G là 1 nhóm tầm thường G ={e} với ord(e)= 2 . vậy thì G cũng là Abel .
Vì thế mình mới viết là tồn tại a sao cho a^2=a đó .

Mình đồng ý với bạn rằng nhóm này rất đặc biệt, có thể chỉ có hai phần tử e và a với http://dientuvietnam...metex.cgi?a^2=e nhưng phải chứng minh. Có lẽ bạn nhầm chứ cấp của phần tử đơn vị e là 1 chứ không phải 2.

[pascal]

uh, theo định nghĩa thì ord (e) = 1 , nhưng bạn có thấy e^2 = e chưa , hehhe.
Dù sao thì mình thấy nhóm G này tầm thường thôi . Nhưng đề bài cũng có thể hiểu 2 cách : một là G chỉ có 1 phần tử duy nhất và phần tử đó có cấp 2 ; còn hai là G có 1 phần tử cấp 2 duy nhất , còn phần tử khác cấp khác 2 . Nếu bài toán rơi vào trường hợp 2 thì ko có thỏa ko nhỉ ???

[canh_dieu]

Riêng với mình phản xạ đầu tiên với bài toán này là một chút nghi ngờ !

Giác quan của nemo tốt nhỉ . Nhóm quaternion http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q_8 chỉ có đúng một phần tử cấp 2, nhưng không là nhóm Abel.

[nemo]

uh, theo định nghĩa thì ord (e) = 1 , nhưng bạn có thấy e^2 = e chưa , hehhe.

Cấp của một phần tử a trong nhóm được định nghĩa là số tự nhiên n khác 0 nhỏ nhất để http://dientuvietnam...metex.cgi?a^n=e, vì vậy ord(e)=1 chứ không phải 2.

Nhóm quaternion http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q_8 chỉ có đúng một phần tử cấp 2, nhưng không là nhóm Abel.

Hôm nay em đọc được điều này trong một cuốn sách hớn hở định post lên thì anh Canh_dieu đăng trước rồi

[Cuong12giaitich]

Riêng với mình phản xạ đầu tiên với bài toán này là một chút nghi ngờ !

Giác quan của nemo tốt nhỉ . Nhóm quaternion http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q_8 chỉ có đúng một phần tử cấp 2, nhưng không là nhóm Abel.

Chao bạn canh_dieu. Mình thấy rất hay khi đua ra được ví dụ về một nhóm chỉ có một phần tử cấp 2 mà không phải là nhóm Abel. Bạn có thể chỉ rõ cho mình nhóm
quaternion http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q_8 là nhóm như thếnào dược không/ Cảm ơn bạn nhiều.

[canh_dieu]

Định nghĩa trừu tượng cho nhóm Quaternion được phát biểu dưới dạng các phần tử sinh và quan hệ nên có nhiều phiên bản khác nhau. Một định nghĩa hay gặp nhất, cũng gần với định nghĩa cho đại số Quaternion, nói rằng nhóm Quaternion là nhóm gồm các phần tử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a,b với các quan hệ

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?<A,B> là nhóm tự do trên 2 kí tự và là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa và

Nhóm Quaternion có thể được mô tả tường minh như là nhóm gồm 8 ma trận phức