Đến nội dung


Hình ảnh

finite Correspondence


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đã gửi 07-07-2008 - 01:09

:mellow:, lập ra cái topic này để discuss 1 cách tỉ mỉ về Lecture 1 của Voevodsky. Rút kinh nghiệm từ các topic khác, thường die ngay lập tức, topic này mình hy vọng có thể bàn luận 1 cách tỉ mỉ từng chi tiết trong từng ngõ ngách của vấn đề. Điều này chắc chắn sẽ phải dẫn tới việc giải bài tập trong Hartshorne, hoặc tra lần lại EGA.

Hôm nay mình sẽ chỉ nói về 2 trang đầu trong Lecture 1 của cuốn sách, các bạn có thể down tại đây

Trước hết, chúng ta làm việc với phạm trù các lược đồ trên 1 trường k bất kỳ. Như Voevodsky thống nhất, mọi lược đồ sẽ là lược đồ tách, theo định nghĩa điều này có nghĩa phép nhúng diagonal là đóng, i.e. $\Delta: X \rightarrow X \times_k X$ is a closed immersion. 1 cách cơ bản, nhúng đóng, có nghĩa là đường chéo $\Delta(X) \subset X \times_k X$ là 1 tập đóng, và cấu xạ tự nhiên trên bó cấu trúc phải là 1 toàn ánh.

Nhắc thêm, tính tách của 1 lược đồ, có thể kiểm tra bằng điều kiện định giá (Valuation criterion), nói 1 cách trực quan, thì mỗi vành định giá R (Valuation ring) có 1 ideal cực đại và 1 ideal nguyên tố. Vậy nên, ta sẽ có 1 phép nhúng tầm thường từ điểm đóng (tương ứng với Spec(K)), với K là trường thương của R, vào Spec ( R ). Xét cấu xạ cấu trúc X vào Spec(k), ta nói X tách được, nếu tồn tại nhiều nhất 1 phép nâng từ Spec ( R ) vào X làm biểu đồ sau giao hoán

$\begin{array} Spec(K) \longrightarrow & X \\ \downarrow & \downarrow \\ Spec ( R ) \longrightarrow & Spec(k) \end{array}$



Điều kiện tách theo vành định giá này khá là trực quan về mặt hình ảnh. Để thống nhất, từ giờ, chúng ta sẽ viết S cho 1 base scheme, và luôn đòi hỏi các base scheme là Notherian. Recall, noetherian có nghĩa là local noetherian, và quasi-compact, trong đó local noetherian, có nghĩa là địa phương, mỗi lược đồ affine là phổ của 1 vành Noether. Tức là mọi dẫy tăng của Ideal đều sẽ dừng, dịch sang ngôn ngữ của topo, ta sẽ có 1 dẫy dừng các tập con đóng. Do đó ta thấy lược đồ Noether sẽ suy ra không gian topo Noether.

1 chu trình / hoặc 1 xích ( Cycle) của 1 lược đồ X sẽ là 1 tổng hình thức tuyến tính với hệ số nguyên của các tập đóng bất khả quy của X. Điều này có nghĩa, nếu Z là 1 chu trình của 1 lược đồ X, vậy thì

$Z = \sum_W n_W \cdot W$,


với W là closed irreducible subsets của X. Tuy nhiên định nghĩa như thế này sẽ không cho ta 1 tín hiệu nào cụ thể từ phía hình học của lược đồ, bởi tập đóng quá tổng quát. Do đó ứng với mỗi tập đóng, ta phải phong cho nó 1 cấu trúc hình học lên nó. Điều này ta sẽ làm cụ thể như sau:

Với mỗi tập đóng bất khả quy W, ta tương ứng nó với 1 lược đồ con nguyên $\tilde{W}$ sao cho tập W bằng với giá của $\tilde{W}$. Để tiện theo dõi, ta nhắc lại lược đồ nguyên (integral). Lược đồ nguyên nếu, địa phương, các lát cắt của bó cấu trúc làm thành 1 vành nguyên. Do tính chất của vành nguyên, dễ dàng cm được, lược đồ nguyên nếu và chỉ nếu nó bất khả quy và giản ước (reduced), ở đây giản ước meaning rằng mỗi vành địa phương tại 1 điểm không có nilpotent.

Ta sẽ nói tập con đóng bất khả quy (closed irreducible subset) W là hữu hạn, dọc theo cấu xạ cấu trúc $X \rightarrow S$, nếu hạn chế của cấu xạ này lên lược đồ con tương ứng là 1 cấu xạ hữu hạn (finite morphism). Điều này cần phải giải thích rõ ràng hơn. Giả sử cấu xạ cấu trúc của chúng ta là $\phi : X \rightarrow S$, khi ta xét

$\phi_{\tilde{W}}: \tilde{W} \rightarrow S$,



ta sẽ yêu cầu cấu xạ này là hữu hạn. Cụ thể hơn (finite morphism) cấu xạ hữu hạn có nghĩa là affine địa phương, và hữu hạn sinh theo nghĩa module. More precisely, nếu S được phủ bởi 1 họ các phủ mở affine $S = \cup_i Spec (B_i)$, vậy thì

$\phi_{\tilde{W}}^{-1}(Spec(B_i)) = Spec(A_i)$,


và $B_i \rightarrow A_i$ được xem là 1 module hữu hạn sinh trên $B_i$.

Cấu xạ hữu hạn rất quan trọng để ta định nghĩa phép đẩy của 1 chu trình như ta sẽ trình bầy dưới này. Trước hết, ta nói 1 chu trình $\sum n_i W_i$ là finite (hữu hạn) nếu mỗi $W_i$ hữu hạn dọc theo cấu xạ cấu trúc. Bây giờ ta sẽ nói, thế nào là 1 elementary correspondence (tương ứng cơ bản) giữa 2 lược đồ cho trước.

Nếu X là 1 lược đồ trơn liên thông (smooth connected) trên 1 trường k và Y là 1 lược đồ bất kỳ trên k (chú ý bất kỳ có nghĩa là ta ngầm quy ước Y là lược đồ tách). Liên thông (connected) tức là không gian topo nền $|X|$ liên thông, theo nghĩa không thể viết nó dưới dạng hợp của 2 tập con mở thực sự, và để đơn giản, ta nói X trơn trên trường k nếu mọi vành địa phương tại mỗi điểm là 1 vành regular (chính quy). Tất nhiên trong relative context, thì smooth morphism sẽ hoàn toàn khác regular (1 khái niệm absolute), nếu có dịp chúng ta sẽ bàn về vấn đề này sau.

1 tương ứng cơ bản từ X vào Y, được hiểu đơn giản là 1 tập con đóng bất khả quy $W \subset X \times_k Y$, sao cho lược đồ nguyên tương ứng của nó là $\tilde{W}$ sẽ hữu hạn và surjective vào X (hiển nhiên thông qua phép chiếu chính tắc lên thành phần X).

Trường hợp nếu X không connected, say $X = \coprod_i X_i$, với X_i là các thành phần liên thông (connected component), ta sẽ định nghĩa 1 tương ứng cơ bản từ X vào Y như là 1 tương ứng cơ bản bất kỳ từ X_i vào Y. Nhóm các tương ứng sẽ được định nghĩa như là nhóm abelian sinh bởi các tương ứng cơ bản W, explicit, we set

$Corr_k(X,Y) = \oplus_{W \subset X \times_k Y} \mathbb{Z}[W]$.


Mỗi phần tử của nhóm tương ứng (Correspondence) sẽ được biểu thị dưới dạng $T = \sum_W n_W \cdot W$, và đựoc gọi là 1 tương ứng hữu hạn (finite Correspondence). Từ định nghĩa của tương ứng cơ bản trên các thành phần liên thông của 1 lược đồ, dễ thấy, nếu lược đồ X là không liên thông, vậy thì ta sẽ có 1 decomposition:

$Corr_k(X,Y) = \oplus_i Corr_k(X_i, Y)$.


Ta xét 1 vài ví dụ hết sức cơ bản, tự nhiên, và quan trọng sau đây: Đó là đồ thị của 1 cấu xạ cho trước. Cho $f : X \rightarrow Y$ là 1 cấu xạ giữa các lược đồ trơn. Giả sử X là liên thông, ta khẳng định rằng đồ thị $\Gamma_f$ là 1 tương ứng cơ bản giữa X và Y. Chứng minh điều này không khó (vậy nên Voevodsky bỏ qua), ta có thể tiến hành như sau. Trước hết vẽ nên 1 hình chữ nhật cho tích XxY, vẽ 1 đồ thị bất kỳ nào đó. Ta biết

$\Gamma_f = \{(x,f(x)) \in X \times_k Y \} \subset X \times_k Y$.


Do Y là lược đồ tách, nên đồ thị phải là 1 tập con đóng. Xét phép chiếu chính tắc $pr_1 : \Gamma_f \rightarrow X$, hiển nhiên phép chiếu này là 1 toàn ánh (surjective). Nếu $\{ V_i = Spec(B_i) \}$ là 1 phủ affine cho X, nhìn vào hình vẽ dễ thấy, nghịch ảnh của V_i theo phép chiếu phải là affine và bằng chính V_i (nếu cần thiết phải thu nhỏ). Do đó đồ thị của cấu xạ làm thành 1 tương ứng cơ bản.

1 ví dụ cơ bản nữa hết sức quan trọng đó là đồ thị của cấu xạ đơn vị $id : X \rightarrow X$, được xem như là giá của đường chéo $\Delta(X) \subset X \times_k X$.

Tiếp theo ta muốn định nghĩa hợp của 2 tương ứng. Để làm điều này ta phải hiểu phép đẩy (pushforward) của 1 chu trình. Đây cũng sẽ là phần cuối cho bài mở đầu introduction này. Trước hết cho 1 cấu xạ cấu trúc $p : X \rightarrow S$, với S là base scheme. Nếu W là 1 tập con đóng bất khả quy và hữu hạn dọc theo cấu xạ cấu trúc p, ta có thể nói gì về ảnh của nó. Để làm điều này, trước hết ta cần phải giải bài tập 3.5.b chương II trong cuốn Hartshorne, khẳng định rằng cấu xạ hữu hạn sẽ là cấu xạ đóng. Do đó p(W) sẽ là 1 tập con đóng bất khả quy.

Như theo định nghĩa của cấu xạ hữu hạn, ta sẽ chứng minh trước hết, cấu xạ đóng là bảo toàn qua phép chuyển cơ sở (stable under the base change). Do định nghĩa của cấu xạ hữu hạn, ta sẽ reduce cm của ta về trường hợp affine. Cho X = Spec (A), S = Spec(B) và Z = Spec ( C ) lần lượt là 3 lược đồ affine với S là lược đồ cơ sở (base scheme). Khi chuyển cơ sơ, ta sẽ thu được cấu xạ

$Spec(A \otimes_B C) \rightarrow Spec ( C )$



(theo định nghĩa của tích thớ). Hiển nhiên nếu

$A = a_1 B +...+ a_n B$



hữu hạn sinh, thì $A \otimes_B C$ sẽ hữu hạn sinh trên C, bởi các phần tử sinh

$a_i \otimes 1_C$.


Do đó cấu xạ trên hữu hạn, và do đó cấu xạ hữu hạn là bất biến khi chuyển cơ sở.

Vẫn làm việc với trường hợp affine, ta thay thế base scheme S bởi bao đóng của ảnh $\overline{p(S)}$, vậy thì cấu xạ cấu trúc p sẽ đựoc cảm sinh bởi 1 mở rộng nguyên của vành $B \subset A$, giờ áp dụng định lý going up theorem ta có kết quả cần chứng minh. Do đó, từ cm này, ta cũng thấy, cấu xạ hữu hạn thậm chí còn là 1 cấu xạ proper (cấu xạ thực).

Từ đó ta có thể xét mở rộng hữu hạn của trường các hàm $k(W)/k(p(W))$ với degree d. Ta định nghĩa phép đẩy của 1 chu trình W thông qua

$p_{\star}W = d \cdot p(W)$.



Mở rộng tuyến tính ra ta định nghĩa cho các chu trình bất kỳ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 07-07-2008 - 01:33


#2 Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đã gửi 07-07-2008 - 04:09

Tiếp theo:
Như ở cuối bài trên chúng ta đã định nghĩa thế nào là pushforward của 1 chu trình. Infact, nếu đọc Fulton, ta sẽ thấy Fulton yêu cầu số chiều của bao đóng của ảnh của 1 đa tạp con không tăng dưới tác động của cấu xạ, điều này được đảm bảo bởi Fulton dùng cấu xạ proper. Điều này được dấu 1 cách implicitly trong định nghĩa theo Voevodsky.

Bài này tôi muốn nói tới Lemma 1.4. trong Lecture 1 của Voevodsky, được phát biểu như sau:

Lemma: Cho $f: X \rightarrow Y$ là cấu xạ của các lược đồ tách được và of finite type trên 1 lược đồ cơ sở Noetherian S. Gọi W là 1 tập con đóng bất khả quy của X và W hữu hạn trên S. Vậy thì ảnh của W bởi f là đóng và bất khả quy trong Y và hữu hạn trên S. Hơn nữa, nếu W hữu hạn toàn ánh vào S, vậy thì f(W) cũng hữu hạn toàn ánh vào S.

Trước hết, ta có nhận xét nhỏ rằng điều kiện ở bổ đề này đã được làm yếu đi, thay vì cấu xạ hữu hạn, ta có cấu xạ thuộc kiểu hữu hạn. Để self-contained, ta nhắc lại thế nào là cấu xạ thuộc kiểu hữu hạn. 1 cấu xạ $f: X \rightarrow Y$ gọi là of finite type, nếu nó quasi-compact (i.e. nghịch ảnh của 1 tập con affine được phủ bởi 1 họ hữu hạn các tập affine) và locally of finite type. Cấu xạ thuộc kiểu hữu hạn địa phương có nghĩa là tồn tại 1 phủ affine

$Y = \cup_i Spec(B_i)$


sao cho với mỗi chỉ số i, nghịch ảnh

$f^{-1}(Spec(B_i) = \cup_j Spec(A_{ij})$

,

và $B_i \rightarrow A_{ij}$ là đại số hữu hạn.

Bài tập 3.1 chương II Hartshorne, sẽ cho ta giảm bớt điều kiện trên chỉ số phủ. Namely, cấu xạ f là thuộc kiểu hữu hạn địa phương, nếu và chỉ nếu với mọi tập mở $Spec(B) \subset Y$, nghịch ảnh của tập này được phủ bởi 1 họ các tập affine $Spec(A_i)$, sao cho $A_i$ là đại số hữu hạn trên B.
Nhắc lại 1 đại số $B \rightarrow A$ gọi là hữu hạn, nếu ta có 1 toàn cấu đại số

$A \rightarrow B[T_1,...,T_n]/J$,



tương đương với việc tồn tại các phần tử $a_1,...,a_n \in A$ sao cho $A = B[a_1,...,a_n]$

Khác với cấu xạ hữu hạn (infact là cấu xạ thực (proper)), ở trường hợp bổ đề này, chúng ta chỉ có cấu xạ kiểu hữu hạn. Để cm bổ đề này ta cần bài tập 4.4 chương II Hartshorne và EGA III. Trước hết ta chứng minh f(W) đóng trong Y. Gọi $\phi_X : X \rightarrow S $ và $\phi_Y : Y \rightarrow S$ lần lượt là các cấu xạ cấu trúc. Đặt

$\phi_X|W = \phi_W: W \rightarrow S, \quad f_W : W \rightarrow f(W)$.


Do bổ đề của chúng ta yêu cầu W là hữu hạn trên S, và hữu hạn là proper, nên suy ra W proper trên S, điều này có nghĩa $\phi_W$ là proper, ngoài ra do các lược đồ là tách được, nên $\phi_Y$ là cấu xạ tách, mà $\phi_Y \circ f_W = \phi_W$, nên theo định lý 4.8 chương II trong sách Hartshorne, ta phải có $f_W$ là cấu xạ proper. Vì cấu xạ proper theo định nghĩa là universal closed, nên ta có thể thay thế X bởi W và Y bởi f(W), do đó sẽ nhận được 1 toàn cấu trên S $f: X \rightarrow Y$. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\phi_Y :Y \rightarrow S$ là coi như xong phần f(W) làm thành tập đóng, mà hơn nữa còn thu được f(W) là proper over S.

Mục đích của chúng ta sẽ là base change. Trước hết ta cm rằng tính toàn ánh là ổn định dưới phép chuyển cơ sở. Thật thế, nếu $f : X \rightarrow Y $ surjective, và $g : Y' \rightarrow Y$ là 1 cấu xạ bất kỳ vậy thì ta có các homeomorphisms trên thớ

$(f \times id)^{-1}(y') \simeq X \times_Y Y' \times_{Y'} Speck(y') \simeq X \times_Y Speck(y') \simeq f^{-1}(g(y'))$


Theo như hệ quả 4.8 chương II Hartshorne, thì properness là stable under base change, nên ta tiến hành tiếp cm của chúng ta bằng việc thay X bởi $X \times_S T$, Y bởi $Y \times_S T$ , S bởi T và thay cấu xạ f bởi f x id, với T là 1 S-lược đồ bất kỳ. Do đó để chứng minh là f là universal closed, ta chỉ cần cm f là closed. Nhưng điều này hoàn toàn đơn giản bởi: với 1 tập Z đóng trong Y thì ta sẽ có $Z = f(f^{-1}(Z))$, vì cấu xạ f của ta là surjective (stable under base change). Hiển nhiên f liên tục nên nghịch ảnh của Z phải đóng trong X. Nhưng

$\phi_Y(Z) = \phi_Y \circ f(f^{-1}(Z)) = \phi_X(f^{-1}(Z)) $


là tập đóng do $\phi_X$ là cấu xạ proper, do đó ta có điều phải chứng minh. Vậy từ đó ta kết luận được gì, được 1 điều là ảnh của tập đóng trong X sẽ là đóng trong Y, và proper trên S.

Để chứng minh phần còn lại trong bổ đề, ta sẽ chứng minh luận điểm sau: Nếu f(W) có thớ hữu hạn trên S, vậy thì nó hữu hạn trên S. Luận điểm này được chứng minh bằng EGA. Bài post tiếp theo, tôi sẽ nói tiếp.

#3 Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đã gửi 08-07-2008 - 00:08

Tiếp tục với phần chứng minh của Bổ đề trên. Ta sẽ chứng minh 1 cách tổng quát luận điểm cuối của bổ đề bằng định lý Chevalley (EGA III, 4.4.2).

Proposition: Cho $f:X \rightarrow Y$ là cấu xạ, với Y là 1 lược đồ địa phương noetherian. Những phát biểu sau là tương đương:

(i) f là hữu hạn
(ii) f affine và thực (proper)
(iii) f proper và quasi-finite (tựa hữu hạn), điều này có nghĩa ứng với mỗi điểm y trong Y, nghịch ảnh của y theo f sẽ là 1 tập hữu hạn.

Proof: EGAIII 4.4.2.

Cách tiếp cận với Correspondence của Voevodsky ở trên thực tế là 1 kiểu reformulation cho nhóm Chow. Trong lecture của Voevodsky, phần phụ lục cho chương I được viết để xây dựng Correspondence tổng quát hơn, đó là tương ứng trong ngôn ngữ tương đối. Người ta có thể xây dựng phạm trù $Corr/S$, với S là base scheme, thay vì làm việc over field k. Đây cũng là 1 luận điểm chúng ta cần phải khai thác rõ ràng. Trên thực tế, để định nghĩa 1 phép giật (pull-back) của 1 chu trình thông qua 1 cấu xạ phẳng, tương đối dễ dàng, tổng quát thì khó hơn rất nhiều. Why do we care about $Corr/S$? Tất nhiên là chúng ta không thể lúc nào cũng làm trên 1 trường k cố định nào đó. Chẳng hạn khi ta xét schemes trên 1 vành Dedekind (hoặc cụ thể hơn DVR), $\mathfrak{X} \rightarrow Spec ( R )$, ta sẽ không thể có $Corr/k$, thay vào đó base scheme của chúng ta sẽ có Krull dimension $\leq 1$. Các situations như thế sẽ xuất hiện khi chúng ta study arithmetic surfaces chẳng hạn.

Tất nhiên cũng phải nói rằng, chúng ta không có 1 good theory trên vành, vì những bổ đề như moving lemma, rất khó làm trên DVR, cũng như nhóm Chow cũng rất khó có thể kiểm soát cụ thể, nếu chúng ta rời khỏi k, chuyển sang làm trên R.

Nhưng bây giờ, before we go deeper in Corr/k, ta muốn nhắc lại 1 ít intersection theory, để có chút feeling, what is going on. Đây cũng là nội dung chính của classical pure motives. Như ở trên ta fix 1 trường k, và xét phạm trù các lược đồ trơn xạ ảnh trên k. Thay vì nhóm Correspondence, ta sẽ dùng 1 thuật ngữ cổ điển, đó là nhóm các chu trình cycle, được hiểu như là 1 nhóm abelian sinh bởi các đa tạp con có đối chiều d, more precisely, we set
 

$Z^d(X) = \oplus_{V \subset X, codim_X(V) = d} \mathbb{Z}[V]$


Gọi ~ là 1 tương đương nào đó trong các tương đương hữu tỷ, tương đương đồng điều, tương đương đại số, tương đương số. Chú ý rằng, với tương đương đồng điều ta ngầm hiểu rằng ta đã fixed 1 Weil cohomology theory. Ta cũng ngầm quy ước với nhau rằng, nhóm Chow sẽ là nhóm thương của nhóm các chu trình modulo 1 tương đương nào đó trong các tương đương trên, không nhất thiết phải lấy tương đương hữu tỷ.
 

$CH^d(X) = Z^d(X) / \text{ equiv \quad rel}$


Để tiện theo dõi, ta cũng remind rằng, algebraic equivalence chính là rational equivalence, tuy nhiên đường cong hữu tỷ $\mathbb{P}^1$ và 2 điểm $0, \infty$ đựoc replaced by 1 đường cong đại số trơn C bất kỳ, và 2 điểm a,b bất kỳ trên C.

Cách định nghĩa như thế này khá phù hợp với ngôn ngữ của Correspondence, namely, nếu lược đồ X của chúng ta là purely n-dimensional, vậy thì các tương đương bậc r từ X vào Y sẽ được biểu thị như là:
 

$Corr^r(X,Y) = CH^{r+d}(X \times_k Y)$


Từ đó dễ dàng định nghĩa được tích hợp của Correspondence thông qua Chow groups như sau: Nếu ta lấy tích của 3 lược đồ X,Y,Z, say $X \times Y \times Z$, và ký hiệu lần lượt $pr_{ij}$ là các phép chiếu chính tắc lên các thành phần factors tương ứng của tích, ta sẽ nhận được
 

$$Corr^r(X,Y) \otimes Corr^s(Y,Z) \rightarrow Corr^{r+s}(X,Z), \quad f \otimes g \rightarrow g \circ f = pr_{13\star}(pr_{12}^{\star}f \cdot pr_{23}^{\star}g).$$

 


Từ bây giờ, chúng ta sẽ coi ngầm như tích hợp của Correspondence đã được định nghĩa, thực chất tích các tương ứng theo Voevodsky cũng được motivated thông qua nhóm Chow như thế này. Chú ý rằng, dấu * ở trên là phép giật, còn dấu * ở dưới có nghĩa là phép đẩy.

Câu hỏi đặt ra, pushforward chúng ta đã có, thế pull-back thì phải làm thế nào. Đây sẽ là nội dung chính của bài sau, nhằm quan sát tỉ mỉ cách mà Voevodsky làm trong phạm trù Corr/S, với S là base scheme bất kỳ (xin nhắc lại lần nữa, bất kỳ có nghĩa là lược đồ tách được, và với base scheme thì ta ngầm quy ước S là Noetherian).

Có thể hiểu ý tưởng của Voevodsky như là làm đầy các điểm lên, thay thế mỗi điểm bằng 1 điểm dầy (fat point), tuy nhiên bản thân người viết post này (AL) cũng không hề hiểu chút gì về ý tưởng này.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 21-05-2013 - 06:18
latex





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh