IMO 2008
Cuộc thi Olymic Toán Quốc Tế lần thứ 49 diễn ra từ ngày 9 tới ngày 22 tháng 7 năm 2008 tại thủ đo Marid của Tây Ban Nha với sự tham gia của 104 nước và vùng lãnh thổ cùng 554 thí sinh . Hai ngày thi chính thức là ngày 16 và 17 tháng 7 , bên cạnh hai ngày thi chính sẽ là các hoạt động giao lưu giữa các đoàn và các thí sinh nghỉ ngơi , giải trí và thăm quan các danh thắng ở Tây Ban Nha . Tới với kỳ thi lần này đoàn Việt Nam có 6 thí sinh , trưởng đoàn là Giáo Sư Hà Huy Khoái , Thầy Nguyễn Khắc Minh và 3 quan sát viên là các thầy : Mạc Đăng Nghị , Phan Tuấn Cộng và thầy Trịnh Văn Hoa .
Tại Topic này chúng tôi sẽ cố gắng tổng hợp nhanh nhất các diễn biến của kỳ thi . Dưới đây là ảnh các thành viên của đoàn Việt Nam :
GS. Hà Huy Khoái
( Trưởng Đoàn )
Thầy Nguyễn Khắc Minh
( Phó Đoàn )
Thầy Mạc Đăng Nghị 
Thầy Phan Tuấn Cộng
Thầy Trịnh Văn Hoa
và 6 học sinh :
Lê Ngọc Anh
( THPT Lam Sơn - Thanh Hóa )
Nguyễn Phạm Đạt
( THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội )
Dương Trọng Hoàng
( THPT Chuyên ĐHSP Vinh )
Đỗ Thị Thu Thảo
( THPT Nguyễn Trãi , Hải Dương )
Đặng Trần Tiến Vinh
(THPT NK ĐHQG Thành Phố Hồ Chí Minh )
http://www.imo-2008.es/TPhotosJPG/Thumb_VNM_20080606-100750-073.jpg
Hoàng Đức Ý
( THPT Lam Sơn , Thanh Hóa )
Ngày 1
Bài 1
Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\Gamma_A$ có tâm là trung điểm cạnh $BC$ và đi qua $H$, cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$, $A_2$. Các điểm $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Bài 2
a.Cho $x,y,z$ là các số thực khác 1 thỏa mãn $xyz=1$
Cmr :
$\dfrac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \dfrac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \dfrac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq$ 1
b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)
Bài 3
Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho $n^{2}+1$ có 1 ước nguyên tố lớn hơn $2n+ \sqrt{2n}$
Ngày 2:
Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f: (0, +\infty ) \to (0, +\infty)$ sao cho
$ \dfrac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})} = \dfrac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}} $
với mọi số thực dương $w,x,y,z$ mà $wx=yz$.
Bài 5: Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k \geq n$ và $k-n$ là số chẵn. Cho $2n$ bóng đèn được đánh số từ $1$ đến $2n$; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).
Giả sử $N$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt
Giả sử $M$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ $n+1$ đến $2n$ được bật.
Tính tỉ số $\dfrac{N}{M}$.
Bài 6: Giả sử $ABCD$ là một tứ giác lồi với $|BA| \neq |BC| $. Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ADC$ tương ứng qua $w_{1}$ và $w_{2}$. Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng $BA$ kéo dài tại một điểm đi sau $A$ và tiếp xúc với nửa đường thẳng $BC$ kéo dài tại một điểm đi sau $C$, đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của $w_{1}$ và $w_{2}$ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $w$.
Để biết thêm chi tiết các bạn có thể vào trang web cính thức của cuộc thi : http://www.imo-2008.es
Dưới đây là đề bài bản Tiếng Việt và Tiếng Anh
