Chủ đề này có 1 trả lời

[hunghien]

Giải phương trình hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$$

[pcoVietnam02]

Gọi $P(x,y)$ là phép thế $f(x+y)=\frac{x+y}{x-y}f(x)-\frac{x+y}{x-y}f(y)$ $\forall x\ne y$

$P(x+1,2)$ $\implies$ $f(x+3)=\frac{x+3}{x-1}f(x+1)-\frac{x+3}{x-1}f(2)$ $\forall x\ne 1$

$P(x,1)$ $\implies$ $f(x+1)=\frac{x+1}{x-1}f(x)-\frac{x+1}{x-1}f(1)$ $\forall x\ne 1$

Suy ra $f(x+3)=\frac{x+3}{x-1}\frac{x+1}{x-1}f(x)$ $-\frac{x+3}{x-1}\frac{x+1}{x-1}f(1)$ $-\frac{x+3}{x-1}f(2)$ $\forall x\ne 1$ (1)

$P(x+2,1)$ $\implies$ $f(x+3)=\frac{x+3}{x+1}f(x+2)-\frac{x+3}{x+1}f(1)$ $\forall x\ne -1$

$P(x,2)$ $\implies$ $f(x+2)=\frac{x+2}{x-2}f(x)-\frac{x+2}{x-2}f(2)$ $\forall x\ne 2$

Suy ra $f(x+3)=\frac{x+3}{x+1}\frac{x+2}{x-2}f(x)$ $-\frac{x+3}{x+1}\frac{x+2}{x-2}f(2)$ $-\frac{x+3}{x+1}f(1)$ $\forall x\ne -1,2$ (2)

Từ (1),(2) suy ra $f(x)=ax^2+bx$ $\forall x\notin\{-3,-1,1,2\}$ với vài giá trị $a,b\in\mathbb R$ 

Ta lại có $P(3,-6)$, $P(3,-4)$, $P(3,-2)$ và $P(4,-2)$ khẳng định được $f(x)=ax^2+bx$ $\forall x$

Vậy $\boxed{f(x)=ax^2+bx}$ $\forall x$, thử lại thấy thỏa mãn.