Chủ đề này có 2 trả lời

[tieu_than_tien]

chứng minh rằng nếu $a-b, a^{2}-b^{2} ,...,a^{k}-b^{k}$ là các số nguyên với mọi số nguyên dương k thì a,b là các số nguyên

[Primes]

Bài này là một bài rất hay .
Bạn tham khảo lời giải ở đây :
http://www.mathlinks...ic.php?t=201996
Tiện thể bài này vẫn đúng nếu n là các số nguyên tố .Bài này đã post trên tạp chí reflection . Bạn có tham khảo thêm lời giải ở đó .

[Songohan]

$a = [a] + \{ a\} ,b = [b] + \{ b\} $
$ a - b = [a] - [b] + \{ a\} - \{ b\} \in Z \Rightarrow \{ a\} = \{ b\}$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = ([a] - [b])([a] + [b] + \{ a\} + \{ b\} ) \in Z $
$ \Rightarrow \{ a\} + \{ b\} \in Z \Rightarrow 2\{ a\} \in Z$ $\Rightarrow \{ a\} = \{ b\} = \dfrac{1}{2} \vee \{ a\} = \{ b\} = 0 $
Nếu $ \{ a\} = \{ b\} = 0 $ ta có đpcm.
Nếu $ \{ a\} = \{ b\} = \dfrac{1}{2} $
$ a^3 - b^3 = ([a] - [b])([a]^2 + [b]^2 + [a][b] + 3\dfrac{{2([a] + [b]) + 1}}{4})$
vô lý do $ 2([a] + [b]) + 1 $ lẻ.