Chủ đề này có 10 trả lời

[thihoa_94]

Cho phương trình ẩn x bậc n có n nghiệm thực.Hệ số cao nhất và hệ số tự do bằng 1, các hệ số còn lại của phương trình đều dương.Chứng minh n nghiệm của phương trình đều âm.
giúp mình nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 11-09-2008 - 15:55

[inhtoan]

cái này hình như cần a/d công thức truy hồi với n số

[thihoa_94]

cái này hình như cần a/d công thức truy hồi với n số

bạn giải thích rõ ra được không hình như mình cũng không biết về công thức truy hồi. cảm ơn bạn!

[vuthanhtu_hd]

Cũng có thể dùng định lí Vìete tổng quát để giải.

[inhtoan]

đ/l viete thuận với n nghiệm($ x_{1} $,$ x_{2} $...$ x_{n} $)được phát biểu như sau:
nếu $ x_{1} $,$ x_{2} $...$ x_{n} $ là ngiệm của pt:($ a_0 $ 0)
$ a_0 $ $ x^n $+$ a_1 $ $ x^{n-1} $+...+$ a_{n-1} $x+$ a_n $=0 $ x_{1} $+$ x_{2} $+...+$ x_{n} $=- $ \dfrac{a_1}{ a_0}$
=> $ x_1 $ $ x_2 $...+$ x_1 $ $ x_n $+$ x_2 $ $ x_3 $+..$ x_2 $ $x_n $+...+$ x_n-1 $ $ x_n $= $ \dfrac{a_2}{ a_0}$
$ a_1 $ $ a_2 $ $ a_3 $+$ a_1 $ $ a_2 $ $ a_4 $+...+$ a_1 $ $ a_2 $ $ a_n $+...+$ a_n-2 $ $ a_n-1 $ $ a_n $=- $ \dfrac{a_3}{ a_0}$
$ a_1 $ $ a_2 $....$ a_n $=$ \dfrac{(-1)^n a_n}{ a_0}$
ỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 06-10-2008 - 17:24

[thihoa_94]

Nhưng mà vì sao vẫn chưa đưa đến kết luận?
thử bài toán liên quan:
giả sử phương trình trên có n nghiệm thực:
a) cm P(2) $ \geq $3^n
b)giả sử |$\ a_{i} $|=1 với i=0,1,...,n-1. Cm n$ \leq $3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 16-09-2008 - 23:00

[vuthanhtu_hd]

Tổng quát luôn cho em nhé!
Cm $P(m) \geq (m+1)^{n}$ ($m\in N^{*}$)
Với $P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ .
Do $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}>0$ nên các nghiệm của $P(x)$ đều không dương ,$P(0)=1>0$ nên các nghiệm của này đều âm . Đặt các nghiệm đó là $-x_{1},-x_{2},...,-x_{n}$ thì

$P(x)=(x+x_{1})(x+x_{2})...(x+x_{n})=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ nên $x_{1}x_{2}...x_{n}=1$.
Theo B.Đ.T AM-GM thì
$m+x_{i}=1+1+...+1+x_{i}$ (m số 1) $\geq \sqrt[ m+1]{x_{i}} , i=1,2,...,n$
Suy ra $P(m)=(m+x_{1})(m+x_{2})...(m+x_{n}) \geq (m+1)^{n}\sqrt[m+1]{x_{1}x_{2}...x_{n}}=(m+1)^{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 17-09-2008 - 23:33

[vuthanhtu_hd]

Nhưng mà vì sao vẫn chưa đưa đến kết luận?
thử bài toán liên quan:
giả sử phương trình trên có n nghiệm thực:
a) cm P(2) $ \geq $3^n
b)giả sử |$\ a_{i} $|=1 với i=0,1,...,n-1. Cm n$ \leq $3.

b) đây
Giả sử P(x) có n nghiệm x_{1},x_{2},...,x_{n},theo ĐL Vìete
$\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}=-a_{n-1}= \pm1$

$ \sumx_{i}x_{j} (i \neq j) =a_{n-2}= \pm1$

$\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}=(\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i})^{2}-2\sum x_{i}x_{j}=3$ (1)
ta có $x_{i} \neq 0, \forall i và \dfrac{1}{x_{i}}$ là nghiệm của
$Q(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$
Ta cũng có
$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_{i}}= \pm1$

$\sum\dfrac{1}{x_{i}}\dfrac{1}{x_{j}}= \1pm$

$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(x_{i})^{2}}=3$ (2)

Từ (1),(2) và B.Đ.T AM- GM
$9=\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(x_{i})^{2}} \geq
n^{2}$

Suy ra $n \leq 3$

[vuthanhtu_hd]

Nhưng mà vì sao vẫn chưa đưa đến kết luận?
thử bài toán liên quan:
giả sử phương trình trên có n nghiệm thực:
a) cm P(2) $ \geq $3^n
b)giả sử |$\ a_{i} $|=1 với i=0,1,...,n-1. Cm n$ \leq $3.

b) đây
Giả sử P(x) có n nghiệm $x_{1},x_{2},...,x_{n}$,theo ĐL Vìete
$\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}=-a_{n-1}= \pm1$

$ \sum x_{i}x_{j} (i \neq j) =a_{n-2}= \pm1$

$\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}=(\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i})^{2}-2\sum x_{i}x_{j}=3$ (1)
ta có $x_{i} \neq 0, \forall i $và $\dfrac{1}{x_{i}}$ là nghiệm của
$Q(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$
Ta cũng có
$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_{i}}= \pm1$

$\sum\dfrac{1}{x_{i}}\dfrac{1}{x_{j}}= \pm1$

$\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(x_{i})^{2}}=3$ (2)

Từ (1),(2) và B.Đ.T AM- GM
$9=\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(x_{i})^{2}} \geq
n^{2}$

Suy ra $n \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 01-10-2008 - 16:49

[vuthanhtu_hd]

Câu b) từng là đề thi đề nghị OLympic toán 30/4

[vin.whisky]

Đọc xong chả hiểu các bạn nghĩ gì nữa!
CM bằng phản chứng nếu có nghiệm dương thì P(x) >0 với mọi x>0
Từ đó PT chỉ có nghiệm âm!
Hjx