Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$
Tìm tập hợp các số phức thỏa : $|z-a|-|z+a|=2c$
#1
Đã gửi 18-09-2008 - 02:34
- hoctrocuaZel yêu thích
#2
Đã gửi 18-08-2014 - 21:50
Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$
đặt z=x+yi
$\left | z-a \right |+\left | z+a \right |=\frac{\left | z-a \right |^{2}-\left |z+a \right |^{2}}{\left | z-a \right |-\left | z+a \right |}=\frac{(x-a)^{2}+y^{2}-(x+a)^{2}-y^{2}}{2c}=\frac{-4ax}{2c}=-\frac{2ax}{c} $
ta có $\Rightarrow 2\left | z-a \right |=2c-\frac{2ax}{c}\Rightarrow \frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ ( Hyperbol )
vậy z là tập hợp các điểm đường Hyperbol $\frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DANH0612: 18-08-2014 - 23:59
- hxthanh yêu thích
#3
Đã gửi 18-08-2014 - 23:45
đặt z=x+yi
$\left | z-a \right |+\left | z+a \right |=\frac{\left | z-a \right |^{2}-\left |z+a \right |^{2}}{\left | z-a \right |-\left | z+a \right |}=\frac{(x-a)^{2}+y^{2}-(x+a)^{2}-y^{2}}{2c}=\frac{-4ax}{2c}=$$-\frac{2ax}{c} > 0\Rightarrow x< 0$
ta có $\Rightarrow 2|$$x-a$$|=2c-\frac{2ax}{c}\Rightarrow \frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ ( Hyperbol )
vậy z là tập hợp các điểm trên nữa đường Hyperbol $\frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ (x<0)
Chỗ màu đỏ : đề chỉ cho số thực $a$, chứ đâu có biết âm hay dương
Chỗ màu xanh : phải là $z-a$ mới đúng chứ !!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 18-08-2014 - 23:48
- DANH0612 yêu thích
#4
Đã gửi 18-08-2014 - 23:59
Chỗ màu đỏ : đề chỉ cho số thực $a$, chứ đâu có biết âm hay dương
Chỗ màu xanh : phải là $z-a$ mới đúng chứ !!!
hihi xl tại đọc đề k kĩ
#5
Đã gửi 19-08-2014 - 00:44
Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c\ \ \ (1)$$
Xét trên mặt phẳng phức, ta có : $z=x+yi$
(1) $\Rightarrow |z-a|+|z+a|=\frac{|z-a|^2-|z+a|^2}{|z-a|-|z+a|}=\frac{(x-a)^2+y^2-(x+a)^2-y^2}{2c}=\frac{-2ax}{c}>0$$\Rightarrow ax<0$ (vì $c>0$) (*)
Suy ra $|z-a|=c-\frac{ax}{c}\Rightarrow (x-a)^2+y^2=\left(c-\frac{ax}{c}\right)^2\Rightarrow\left(\frac{c^2-a^2}{c^2}\right).x^2+y^2=c^2-a^2$ (**)
- TH $a=0$ : thì (*) $\Rightarrow$ không tồn tại số phức $z$ nào thoả (1).
- TH $a=c>0$ : thì (*)(**) $\Rightarrow y=0$ và $z=x<0$. Tập hợp $z$ thoả (1) trong TH này là nửa trực hoành (phần $x<0$).
- TH $a=-c<0$ : thì (*)(**) $\Rightarrow y=0$ và $z=x>0$. Tập hợp $z$ thoả (1) trong TH này là nửa trực hoành (phần $x>0$).
- TH $-c<a<0$ : thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Elip (E) : $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{c^2-a^2}$ (phần $x>0$).
- TH $0<a<c$ :thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Elip (E) : $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{c^2-a^2}$ (phần $x<0$).
- TH $a<-c<0$ :thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Hyperbol (E) : $\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{a^2-c^2}$ (phần $x>0$).
- TH $a>c>0$ :thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Hyperbol (E) : $\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{a^2-c^2}$ (phần $x<0$).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 19-08-2014 - 00:50
- hxthanh, Ispectorgadget, chanhquocnghiem và 2 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh