Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm tập hợp các số phức thỏa : $|z-a|-|z+a|=2c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 giau

giau

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 18-09-2008 - 02:34

Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$


 



#2 DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 18-08-2014 - 21:50

Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$


 

 đặt z=x+yi

$\left | z-a \right |+\left | z+a \right |=\frac{\left | z-a \right |^{2}-\left |z+a \right |^{2}}{\left | z-a \right |-\left | z+a \right |}=\frac{(x-a)^{2}+y^{2}-(x+a)^{2}-y^{2}}{2c}=\frac{-4ax}{2c}=-\frac{2ax}{c} $ 

ta có $\Rightarrow 2\left | z-a \right |=2c-\frac{2ax}{c}\Rightarrow \frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ ( Hyperbol )

vậy z là tập hợp các điểm  đường Hyperbol $\frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DANH0612: 18-08-2014 - 23:59


#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 18-08-2014 - 23:45

 đặt z=x+yi

$\left | z-a \right |+\left | z+a \right |=\frac{\left | z-a \right |^{2}-\left |z+a \right |^{2}}{\left | z-a \right |-\left | z+a \right |}=\frac{(x-a)^{2}+y^{2}-(x+a)^{2}-y^{2}}{2c}=\frac{-4ax}{2c}=$$-\frac{2ax}{c} > 0\Rightarrow x< 0$

ta có $\Rightarrow 2|$$x-a$$|=2c-\frac{2ax}{c}\Rightarrow \frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ ( Hyperbol )

vậy z là tập hợp các điểm trên nữa đường Hyperbol $\frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ (x<0)

Chỗ màu đỏ : đề chỉ cho số thực $a$, chứ đâu có biết âm hay dương

Chỗ màu xanh : phải là $z-a$ mới đúng chứ !!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 18-08-2014 - 23:48


#4 DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 18-08-2014 - 23:59

Chỗ màu đỏ : đề chỉ cho số thực $a$, chứ đâu có biết âm hay dương

Chỗ màu xanh : phải là $z-a$ mới đúng chứ !!!

hihi xl tại đọc đề k kĩ



#5 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 19-08-2014 - 00:44

Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c\ \ \ (1)$$

 

Xét trên mặt phẳng phức, ta có : $z=x+yi$

(1) $\Rightarrow |z-a|+|z+a|=\frac{|z-a|^2-|z+a|^2}{|z-a|-|z+a|}=\frac{(x-a)^2+y^2-(x+a)^2-y^2}{2c}=\frac{-2ax}{c}>0$$\Rightarrow ax<0$ (vì $c>0$) (*)

Suy ra $|z-a|=c-\frac{ax}{c}\Rightarrow (x-a)^2+y^2=\left(c-\frac{ax}{c}\right)^2\Rightarrow\left(\frac{c^2-a^2}{c^2}\right).x^2+y^2=c^2-a^2$ (**)

  • TH $a=0$ : thì (*) $\Rightarrow$ không tồn tại số phức $z$ nào thoả (1).
  • TH $a=c>0$ : thì (*)(**) $\Rightarrow y=0$ và $z=x<0$. Tập hợp $z$ thoả (1) trong TH này là nửa trực hoành (phần $x<0$).
  • TH $a=-c<0$ : thì (*)(**) $\Rightarrow y=0$ và $z=x>0$. Tập hợp $z$ thoả (1) trong TH này là nửa trực hoành (phần $x>0$).
  • TH $-c<a<0$ : thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Elip (E) : $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{c^2-a^2}$ (phần $x>0$).
  • TH $0<a<c$ :thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Elip (E) : $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{c^2-a^2}$ (phần $x<0$).
  • TH $a<-c<0$ :thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Hyperbol (E) : $\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{a^2-c^2}$ (phần $x>0$).
  • TH $a>c>0$ :thì (*)(**) $\Rightarrow$ Tập hợp $z$ là nửa Hyperbol (E) : $\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{d^2}=1$, với $d=\sqrt{a^2-c^2}$ (phần $x<0$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 19-08-2014 - 00:50





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh