Chủ đề này có 5 trả lời

[tuan anh sp]

Bác nào giúp giùm em bài này, làm hoài mà k dc:

Chứng minh đa thức sau bất khả quy trên $Q[x]$ :

$f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1$ với $a_1,a_2,..a_n$ nguyên

[trungdungkc]

Ta biết rằng một đa thức nguyên là bất khả quy trong $\mathbb{Q}$ nếu như nó bất khả quy trong $\mathbb{Z}$. Bây giờ ta sẽ chứng minh nó bất khả quy trong $ \mathbb{Z}$ là xong.
Giả sử f(x) khả quy. Khi đó f=gh trong đó g, h là các đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 0. Có thể coi hệ số cao nhất của g(x) dương. Khi đó g(x), h(x) là các đa thức dương trên $\mathbb{R}$ và $f(a_k)g(a_k)=1$ với mọi k. Đặt deg(g)=r, deg(h)=s với s+r=2n

Nếu r>s thì s<n nên g(x) 1 vô lý
Nếu r=s=n thì f-g có bậc <=n-1 nhưng triệt tiêu tại n điểm nên đồng nhất bằng 0. Do đó $f(x)=q^2(x)$. Vì vậy
$[(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)-q(x)][(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+q(x)] \equiv -1 \forall x \in \mathbb{R}$. Điều này không thể xảy ra. Vậy f(x) bất khả quy.

[tuan anh sp]

Cảm ơn trungdung nhiều, nhưng mình vẫn không hiểu tại sao $f(x)=q^2(x)$ là không thể xảy ra, bạn giải thích rõ hơn giúp mình được k?

[tuan anh sp]

Mình cũng k hiểu vì sao $g(x)$ và $h(x)$ là đa thức dương, theo mình thì chỉ cần chúng cùng dấu trên từng đoạn của $R$ là dc rồi, bạn trungdung giải thích thêm cho mình ha.

[tienanh]

Mình cũng k hiểu vì sao $g(x)$ và $h(x)$ là đa thức dương, theo mình thì chỉ cần chúng cùng dấu trên từng đoạn của $R$ là dc rồi, bạn trungdung giải thích thêm cho mình ha.

g(x) không đổi dấu trên R vì nếu đổi dấu thì ptrình g(x)=0 có nghiệm thực,suy ra ptrình f(x) = 0 cũng có nghiệm thực.điều này vô lí.

[tienanh]

Cảm ơn trungdung nhiều, nhưng mình vẫn không hiểu tại sao $f(x)=q^2(x)$ là không thể xảy ra, bạn giải thích rõ hơn giúp mình được k?

vì ngược lại thì đa thức [(x-a1)...(x-an)-q(x)][(x-a1)...(x-an) + q(x)] có bậc bằng n mà [(x-a1)...(x-an)-q(x)][(x-a1)...(x-an) + q(x)] =-1.điều này vô lý!