ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG
Năm học 2008 ồ 2009
============
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 - BẢNG A
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề)
Bài 1. (3 điểm)
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}$
1. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị lập với 2 đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
2. Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số thoả mãn tiếp tuyến tại điểm đó lập với 2 đường tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 2. (1 điểm)
Cho phương trình: $\left( {65\sin x - 56} \right)\left( {80 - 64\sin x - 65c{\rm{os}}^2 x} \right) = 0$ (1)
Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có các góc thoả mãn phương trình (1).
Bài 3. (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, đường cao SA = h.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ nội tiếp trong 1 đường tròn.
3. Chứng minh rằng AB’>C’D’.
Bài 4. (2 điểm)
Cho phương trình ${\rm{a}}x^3 + 21x^2 + 13x + 2008 = 0 $ (1).
Biết rằng phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân biệt, hỏi phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiệm thực: $4\left( {{\rm{a}}x^3 + 21x^2 + 13x + 2008} \right)\left( {3{\rm{a}}x + 21} \right) = \left( {3ax^2 + 42x + 13} \right)^2$
Bài 5. (1 điểm)
Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x = x^2 \\y\tan y = 1 \\\end{array} \right.$
Chứng minh rằng hệ đã cho có duy nhất 1 nghiệm $(x;y) $ thoả mãn $0<x<y<1$ .
====Hết===
PS: đây là đề dành cho học sinh các trường THPT nhóm A, khi nào có đề chuyên mình sẽ post lên!!! ^^
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 22-10-2008 - 19:41
