ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2008-2009
VÒNG 1
Bài 1 : Giả sử đồ thị hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+d$ cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ với $x_1<x_2<x_3$. Chứng minh $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$.
Bài 2 : Giải phương trình
$4\cot^6x+3(1-\dfrac{\cos 2x}{\sin^2x})^4=7$
Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các tia đối của các tia $BA,DA,CB,CD$ cùng tiếp xúc với đường tròn $(I;r)$. Đặt $d=OI$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{(d+R)^2}+\dfrac{1}{(d-R)^2}$
Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f:R\to R, g:R\to R$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau
1)$\forall x,y\in R$ thì $2f(x)-g(x)=f(y)-y$
2) $\forall x\in R$ thì $f(x).g(x)\geq x+1$
Bài 5 : Dãy số $(x_n)$ với $n=1,2,3,...$ được xác định bởi
$x_1=3, x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n^2-x_n+2 \forall n\in N*$
Tìm giới hạn của dãy $(S_n)$ với $S_n=\sum^n_{i=1}\dfrac{1}{x_i}$