Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh định lý Lagrange

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
toana

toana

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Bài toán:
Cho hàm $f$ liên tục trên [a:b] và khả vi trong $\left( {a,b} \right)$ thỏa mãn $f'\left( a \right) = f'\left( b \right)$. Show that : Tồn tại $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f'\left( c \right) = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-01-2012 - 12:11


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Đây chính là phát biểu của Định lý Lagrange.

Chứng minh:

Xét hàm số: $$F\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\left( {x - a} \right)$$

Vì $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a,b} \right]$ và khả vi trong $\left( {a;b} \right)$ nên $F\left( x \right)$ cúng liên tục trên $\left[ {a,b} \right]$ và khả vi trong $\left( {a;b} \right)$.

Ta có: $$F'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$$

Mặt khác $F\left( a \right) = F\left( b \right) = 0$ nên theo định lý Rolle, $\exists c \in \left( {a,b} \right)$ sao cho $F'\left( c \right) = 0$ hay
$$f'\left( c \right) - \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} = 0 \Leftrightarrow f'\left( c \right) = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}.$$

-----------------------------------

Định lý Rolle: Nếu $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a,b} \right]$, khả vi trong $\left( {a;b} \right)$ và có $f\left( a \right) = f\left( b \right)$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a,b} \right)$ sao cho $f'\left( c \right) = 0$.

#3
levanthuc

levanthuc

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Tại sao lại xét hàm số đó vậy?

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Tại sao lại xét hàm số đó vậy?


Sở dĩ ta xét hàm số $F\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}\left( {x - a} \right)$ để có được hàm thỏa mãn Định lí Rolle, khi đó ta dễ suy ra điều phải chứng minh của bài toán.

Ta cũng có thể xét hàm số $F\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}x$. Hàm số này cũng liên tục trên $\left[ {a,b} \right]$ và khả vi trong $\left( {a;b} \right)$, do đó nó thỏa mãn định lí Rolle.

#5
namkeotn

namkeotn

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết

cho hỏi tính chất nào suy ra hàm F(x) cũng liên tục và khả vi vậy,dựa vào tính chất nào thế



#6
hoainamcx

hoainamcx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

giả thiết fx liên tục và khả vi trên khoảng a,b

${f_{a}}^{'} = {f_{b}}^{'} => {f_{a}} = {f_{b}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoainamcx: 13-05-2018 - 01:49





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh