Câu 6 (3 điểm)
Cho $a,b$ và $c$ là các số thực dương sao cho $a+b+c=3$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\dfrac{a^2}{a+2b^3}+\dfrac{b^2}{b+2c^3}+\dfrac{c^2}{c+2a^3}$
Sử dụng Cauchy ngược dấu ta có
$a-\dfrac{a^2}{a+2b^3}=\dfrac{2ab^3}{a+2b^3}$
theo BĐT AM_GM thì $a+2b^3 \geq 3 b^2 \sqrt[3]{a}$
$2a+1 \geq \sqrt[3]{a^2}$
$b \sqrt[3]{a^2} \leq \dfrac{(2a+1)b}{3}$
nên $\dfrac{2ab^3}{a+2b^3} \leq \dfrac{2ab^3}{3 b^2 \sqrt[3]{a}}=\dfrac{2b \sqrt[3]{a^2}}{3} \leq\dfrac{b(2a+1)}{3} $
Từ đó và 2 BĐT tương tự ta có
$a+b+c-P=\dfrac{2ab^3}{a+2b^3}+\dfrac{2bc^3}{b+2c^3}+\dfrac{2ca^3}{c+2a^3}
\leq \dfrac{2}{3}. \dfrac{2(ab+bc+ca)+a+b+c}{3}$
vì $ab+bc+ca \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3$ nên $a+b+c-P \leq 2$ hay $P \geq 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 22-12-2008 - 19:17