Đến nội dung


Hình ảnh

Các tính chất số học của đa tạp đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đã gửi 01-01-2009 - 20:21

Arithmetic of algebraic varieties


Câu chuyện về tương tác giữa hình học và số học có 1 lịch sử khá thú vị, gắn liền với nhiều tên tuổi như Diophantine, Chevalley, Deligne, Lang, Manin, Katz... Bài viết introduction này là 1 informal overview về 1 hướng trong lãnh vực này. Lịch sử của nó có thể nói bắt nguồn từ việc giải hệ các phương trình Diophantine, dưới ngôn ngữ của hình học hiện đại nó tương đương với việc ta đi tìm điểm của 1 lược đồ số học cho trước. Để hiểu điều này ta trước hết đưa vào khái niệm:

Def: 1 lược đồ số học có thể hiểu như là 1 cấu xạ từ 1 lược đồ $X$ vào phổ của vành các số nguyên $X \rightarrow Spec ( \mathbb{Z} ) $.

Mỗi 1 điểm của $ Spec ( \mathbb{Z} ) $ được đặc trưng bởi 1 số nguyên tố p và trường thặng dư tại đó là $\mathbb{F}_p$, vậy ta có thể xem lược đồ số học như là 1 họ các lược đồ trên $Spec (\mathbb{F}_p) $. Hiển nhiên 1 lược đồ không thể có cùng 1 lúc cả characteristic 0 và p trừ phi bó cấu trúc là vành 0, nên cấu xạ $X \rightarrow Spec (\mathbb{Z} ) $ sẽ phải factors uniquely qua $X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_p) $. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các lược đồ trên trường có đặc số p.

Def: 1 lược đồ X được gọi là lược đồ đặc số p nếu $p \cdot \mathcal{O}_X = 0 $ hay tương đương với việc cho trước 1 cấu xạ cấu trúc $ X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_q) $, với q là số lũy thừa của p.

Như vậy là ta đã thực hiện bước đầu tiên, có nghĩa là chuyển về nghiên cứu hình học trên trường hữu hạn. Mỗi 1 điểm hữu tỉ của 1 lược đồ trên trường hữu hạn được cho bởi 1 cấu xạ $ x: Spec (\mathbb{F}_q) \rightarrow X $, và chữ số học ở đây, có nghĩa là việc ta đếm xem có bao nhiêu cấu xạ như vậy ứng với 1 lược đồ cho trước. Câu chuyện được nối tiếp bởi định lý sau của Chevalley-Warning, được chứng minh hết sức sơ cấp trong cuốn Arithmetic của Serre:

Định lý (Chevalley-Warning): 1 siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh số chiều n với d nhỏ hơn n trên 1 trường hữu hạn luôn có điểm hữu tỉ.

Remark: Định lý này sau được Katz mở rộng ra, hứa hẹn 1 lớp khá rộng các đa tạp đại số có chứa kỳ dị. Chúng ta phải rất cẩn thận khi nói tới kỳ dị, bởi kỳ dị có thể làm thay đổi hoàn toàn các tính chất hình học cũng như số học của các đa tạp.

Quay trở lại về vấn đề đếm điểm trên trường hữu hạn, ta hãy xét 1 ví dụ tầm thường là không gian xạ ảnh
 

$\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^0 \coprod \mathbb{A}^1 \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^n $


Như vậy số điểm nó phải có là $|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| = 1 + q + \cdots + q^n $. (chú ý rằng việc phân tích thành tổng như vậy rất có ý nghĩa sau này trong lý thuyết của Mô típ). Do đó ta có thể viết
 

$|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| \equiv 1 \quad mod \quad q .$


Câu hỏi thú vị đặt ra, có những đa tạp đại số này có tính chất số học này tương tự gần giống với không gian xạ ảnh. Ta hãy xem thử tiếp 1 ví dụ khá sơ cấp trong hình học trường hợp 2 chiều, đó là các mặt Del Pezzo.

Định nghĩa: Mặt Del Pezzo được phân loại như là: mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2 $, tích của 2 đường cong hữu tỉ $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $, hoặc nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại r điểm trên vị trí tổng quát, với r lớn hơn bằng 1 và nhỏ hơn bằng 8.

Hiển nhiên trong 2 trường hợp đầu thì tầm thường, ta xét thử ví dụ Nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại điểm, điều này có nghĩa là ta lấy bớt đi 1 điểm và thêm vào đó 1 đường cong hữu tỉ, phép tính sơ cấp cho thấy số điểm hữu tỉ của mặt nhận được vẫn là 1 mod q.

Bài viết sau tôi sẽ nói về 1 số công cụ để làm việc với hình học trên trường hữu hạn và mối liên hệ tương tự với lý thuyết Hodge trên trường đặc số 0.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 21-05-2013 - 06:11
latex


#2 Alexi Laiho

Alexi Laiho

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Đã gửi 02-01-2009 - 04:30

Cấu trúc Hodge trộn


1 cấu trúc Hodge trộn hữu tỉ được cho bởi 1 không gian vector trên trường hữu tỉ cùng với 2 dẫy lọc được gọi là lọc trọng và lọc Hodge. Trên thực tế dẫy lọc trọng của cấu trúc Hodge trộn relate very strong với trọng theo nghĩa Conjecture de Weil II của Deligne. Công cụ để làm việc trên trường hữu hạn thì có rất nhiều, rigid, cristalline, l-adic, algebraic De Rham cohomology. Tuy nhiên tôi sẽ chỉ chọn l-adic và DeRham như là realization. Infact thì cristalline chỉ work với smooth schemes. Original work của Deligne ở Hodge II thực tế chọn Betti và DeRham realization. Tuy nhiên chúng ta có thể phiên dịch ngôn ngữ giữa chúng không mấy khó khăn.

Ký hiệu $ F \in Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q $ là geometric Frobenius tác động Galois-equivariant lên đối đồng điều giá compact $H^i_{c, et}(X \otimes_{\mathbb{F}_q} \overline{\mathbb{F}}_q, \mathbb{Q}_{\ell}) $. Kết quả của Deligne cho biết với mọi phép nhúng $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell} \subset \mathbb{C}$ thì trị tuyệt đối của các giá trị riêng của toán tử Frobenius hình học lên đối đồng điều của lược đồ trơn xạ ảnh đều là $q^{i/2}$. Điều này dẫn tới lọc trọng in sense Weil conjecture, như là $W_p = \oplus_{i \leq p} V_i $, với $V_i$ là không gian vector con thỏa mãn tính chất nói trên.

Trên trường phức, ta có Hodge decomposition cho trường hợp đa tạp đại số xạ ảnh trơn (hoặc thậm chí Kähler) điều này dẫn tới cấu trúc Hodge thuần khiết (pure Hodge structure). Với đa tạp non-compact có singularities, Deligne đã chứng minh đối đồng điều của nó luôn sở hữu 1 cấu trúc Hodge trộn (mixed Hodge structure). Trên thực tế đây chính là spirit của mixed motives. Ta định nghĩa DeRham realization của 1 đa tạp như là Zariski hypercohomology của dẫy phức DeRham. Sử dụng giải kỳ dị (trên trường phức ta luôn có Hironaka), ta nhúng đa tạp của ta vào 1 good compactification, sao cho phần bù của nó làm thành 1 ước ngang chuẩn tắc (normal crossing divisor).

Khi đó lọc trọng của bó vi phân với cực loga theo phần bù ước ngang chuẩn tắc được cho bởi tích wedge với bó vi phân của compactification nếu độ dài của dẫy lọc nhỏ hơn hạng của bó vi phân có cực loga, trường hợp khác thì giữ nguyên. Lọc Hodge trên De Rham realization được được nghĩa thông qua dẫy phổ tương ứng với Hypercohomology với hệ số là các mảnh phân bậc của dẫy lọc trọng trên bó vi phân cực loga.

Mệt quá, mai viết nốt l-adic realization.

#3 toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Đã gửi 03-01-2009 - 09:26

Bài viết rất thú vị. Mong rằng sẽ được tiếp tục.

Nhân tiện nói về etale cohomology anh có một thắc mắc là: torsion sheaves đóng vai trò như thế nào trong định nghĩa của etale cohomology? (chẳng hạn tính chất torsion được dùng như thế nào trong chứng minh những tính chất của etale cohomology tương tự như của usual cohomology? )

"Sử dụng giải kỳ dị (trên trường phức ta luôn có Hironaka), ta nhúng đa tạp của ta vào 1 good compactification, sao cho phần bù của nó làm thành 1 ước ngang chuẩn tắc (normal crossing divisor)." Câu này có phải ý là xây dựng sheaves với proper supports?
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh