Arithmetic of algebraic varieties
Câu chuyện về tương tác giữa hình học và số học có 1 lịch sử khá thú vị, gắn liền với nhiều tên tuổi như Diophantine, Chevalley, Deligne, Lang, Manin, Katz... Bài viết introduction này là 1 informal overview về 1 hướng trong lãnh vực này. Lịch sử của nó có thể nói bắt nguồn từ việc giải hệ các phương trình Diophantine, dưới ngôn ngữ của hình học hiện đại nó tương đương với việc ta đi tìm điểm của 1 lược đồ số học cho trước. Để hiểu điều này ta trước hết đưa vào khái niệm:
Def: 1 lược đồ số học có thể hiểu như là 1 cấu xạ từ 1 lược đồ $X$ vào phổ của vành các số nguyên $X \rightarrow Spec ( \mathbb{Z} ) $.
Mỗi 1 điểm của $ Spec ( \mathbb{Z} ) $ được đặc trưng bởi 1 số nguyên tố p và trường thặng dư tại đó là $\mathbb{F}_p$, vậy ta có thể xem lược đồ số học như là 1 họ các lược đồ trên $Spec (\mathbb{F}_p) $. Hiển nhiên 1 lược đồ không thể có cùng 1 lúc cả characteristic 0 và p trừ phi bó cấu trúc là vành 0, nên cấu xạ $X \rightarrow Spec (\mathbb{Z} ) $ sẽ phải factors uniquely qua $X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_p) $. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các lược đồ trên trường có đặc số p.
Def: 1 lược đồ X được gọi là lược đồ đặc số p nếu $p \cdot \mathcal{O}_X = 0 $ hay tương đương với việc cho trước 1 cấu xạ cấu trúc $ X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_q) $, với q là số lũy thừa của p.
Như vậy là ta đã thực hiện bước đầu tiên, có nghĩa là chuyển về nghiên cứu hình học trên trường hữu hạn. Mỗi 1 điểm hữu tỉ của 1 lược đồ trên trường hữu hạn được cho bởi 1 cấu xạ $ x: Spec (\mathbb{F}_q) \rightarrow X $, và chữ số học ở đây, có nghĩa là việc ta đếm xem có bao nhiêu cấu xạ như vậy ứng với 1 lược đồ cho trước. Câu chuyện được nối tiếp bởi định lý sau của Chevalley-Warning, được chứng minh hết sức sơ cấp trong cuốn Arithmetic của Serre:
Định lý (Chevalley-Warning): 1 siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh số chiều n với d nhỏ hơn n trên 1 trường hữu hạn luôn có điểm hữu tỉ.
Remark: Định lý này sau được Katz mở rộng ra, hứa hẹn 1 lớp khá rộng các đa tạp đại số có chứa kỳ dị. Chúng ta phải rất cẩn thận khi nói tới kỳ dị, bởi kỳ dị có thể làm thay đổi hoàn toàn các tính chất hình học cũng như số học của các đa tạp.
Quay trở lại về vấn đề đếm điểm trên trường hữu hạn, ta hãy xét 1 ví dụ tầm thường là không gian xạ ảnh
$\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^0 \coprod \mathbb{A}^1 \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^n $
Như vậy số điểm nó phải có là $|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| = 1 + q + \cdots + q^n $. (chú ý rằng việc phân tích thành tổng như vậy rất có ý nghĩa sau này trong lý thuyết của Mô típ). Do đó ta có thể viết
$|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| \equiv 1 \quad mod \quad q .$
Câu hỏi thú vị đặt ra, có những đa tạp đại số này có tính chất số học này tương tự gần giống với không gian xạ ảnh. Ta hãy xem thử tiếp 1 ví dụ khá sơ cấp trong hình học trường hợp 2 chiều, đó là các mặt Del Pezzo.
Định nghĩa: Mặt Del Pezzo được phân loại như là: mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2 $, tích của 2 đường cong hữu tỉ $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $, hoặc nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại r điểm trên vị trí tổng quát, với r lớn hơn bằng 1 và nhỏ hơn bằng 8.
Hiển nhiên trong 2 trường hợp đầu thì tầm thường, ta xét thử ví dụ Nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại điểm, điều này có nghĩa là ta lấy bớt đi 1 điểm và thêm vào đó 1 đường cong hữu tỉ, phép tính sơ cấp cho thấy số điểm hữu tỉ của mặt nhận được vẫn là 1 mod q.
Bài viết sau tôi sẽ nói về 1 số công cụ để làm việc với hình học trên trường hữu hạn và mối liên hệ tương tự với lý thuyết Hodge trên trường đặc số 0.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 21-05-2013 - 06:11
latex