Ngày 1 (18/04/2009)
Bài 2: Cho đa thức $P(x) = rx^3 + qx^2 + px + 1$ $(r>0) $ chỉ có một nghiệm thực và nghiệm đó không phải là nghiệm bội. Dãy số $a_n$ xác định như sau
$a_0 = 1, a_1 = -p, a_2 = p^2 - q$
$ a_{n+3} = -pa_{n+2} - qa_{n+1} - ra_{n}$
Chứng minh rằng dãy số chứa vô số số hạng âm.
Bài 3: Cho a, b là các số nguyên dương không chính phương, ab cũng không chính phương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình
$\left\{\begin{array}{l}ax^2 - by^2 = 1\\ax^2 - by^2 = - 1\end{array}\right $
không có nghiệm nguyên dương
Ngày 2 (19/04/2009)
Bài 4: Tìm các giá trị của r để BDT sau đúng với mọi a,b,c dương:
$(r+\dfrac{a}{b+c})(r+\dfrac{b}{c+a})(r+\dfrac{c}{a+b}) \ge (r+\dfrac{1}{2})^3$
Bài 5: Cho đường tròn $(O) $ đường kính $AB $.$M $ là điểm tùy ý trong $(O) $.Đường phân giác từ $M $ của $\triangle AMB $ cắt $(O) $ tại $N$.Phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt $ NA,NB $ tại $P,Q $.$AM $ cắt đường tròn đường kính $NQ $ tại điểm thứ $2 R $.$BM $ cắt đường tròn đường kính $ NP$ tại điểm thứ $2 S $.
Chứng minh đường trung tuyến kẻ từ $N $ của $\triangle NSR $ đi qua điểm cố định
Bài 6: Có $6n+4$ nhà toán học tham dự 1 hội nghị,trong đó có $2n+1$ buổi thảo luận.Mỗi buổi thảo luận đều có 1 bàn tròn cho 4 người ngồi và n bàn tròn cho 6 người ngồi.Biết rằng 2 người bất kỳ ko ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau quá 1 lần.
a.Hỏi có thể thực hiện được ko với $n=1$?
b.Hỏi có thể thực hiện được ko với $n>1$?
Các bạn có thể thảo luận các bài toán ở đây:
Problem 1
Problem 2
Problem 3
Problem 4
Problem 5
Problem 6
---------------------------------------------------------------------------------------
P/s: Do ko có đề chính thức,nên đề trên chỉ đc post lên thông qua trí nhớ của các mem dự thi TST,nên ko thể chính xác 100% với đề chính thức.Nhưng những nội dung chính hoặc những con số,biểu thức trong đề chính thức đều đã có trong cái đề ở trên.
Thân!
