Chủ đề này có 4 trả lời

[pnt]

Chứng minh tồn tại dãy số $(a_n), n=1,2,...$ là dãy tăng các số nguyên dương sao cho dãy $(b_n)$ với $b_n=k+a_n,\forall n$ chứa hữu hạn các số nguyên tố (với mọi số tự nhiên $k$)

[maidoi]

Chứng minh tồn tại dãy số $(a_n), n=1,2,...$ là dãy tăng các số nguyên dương sao cho dãy $(b_n)$ với $b_n=k+a_n,\forall n$ chứa hữu hạn các số nguyên tố (với mọi số tự nhiên $k$)

Chọn dãy $a_n=(n+k+1)!+2,\forall n\in\mathbb{N}$, khi đó $b_n=(n+k+1)!+k+2$ chia hết cho $k+2$ với mọi $n$. Suy ra $b_n$ là hợp số với mọi $n$

[Trungpbc]

Chọn dãy $a_n=(n+k+1)!+2,\forall n\in\mathbb{N}$, khi đó $b_n=(n+k+1)!+k+2$ chia hết cho $k+2$ với mọi $n$. Suy ra $b_n$ là hợp số với mọi $n$

Lời giải trên chưa đúng vì hiểu sai yêu cầu của bài toán. Bạn cần nhớ rằng dãy, $(a_{n})$ của ta cố định, trong khi $k$ là đại lượng thay đổi (chú ý trong đề bài có nhắc đến cụm từ "với mọi số nguyên dương $k$). Ta có thể giải đơn giản như sau bằng kiến thức về định lí thặng dư Trung Hoa.
Giả sử tập các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần là $p_{0},p_{1},...$, khi đó với mọi số tự nhiên $i$, chọn $a_{i}$ thỏa mãn hệ phương trình đồng dư tuyến tính $$a_{i}\equiv -j \pmod{p_{j}},j=0,1,...,i$$ Rõ ràng mỗi hệ có vô số nghiệm nên có thể chọn sao cho $a_{i}>p_{i},\forall i\in \mathbb{N}$ và dãy của ta là dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Để chứng minh dãy này thỏa mãn, gọi $k$ là một số tự nhiên bất kì, khi đó với tất cả các số tự nhiên $n\geqslant k$ thì $$a_{n}\equiv -k \pmod{p_{k}}$$ mà $a_{n}>p_{n}\geqslant p_{k}$ nên $a_{n}+k$ là hợp số với mọi $n\geqslant k$. Như vậy, dãy $(b_{n})$ chỉ chứa hữu hạn số nguyên tố. Từ đó, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 26-12-2012 - 20:27

[maidoi]

Chọn dãy $a_n=(n+k+1)!+2,\forall n\in\mathbb{N}$, khi đó $b_n=(n+k+1)!+k+2$ chia hết cho $k+2$ với mọi $n$. Suy ra $b_n$ là hợp số với mọi $n$

Mình bị nhầm!!!??? Có thể chọn dãy số $a_n=n!+2$, khi đó $b_n=(k+2)+n!$ và $b_n$ chia hết cho $k+2$ với mọi $n\geq k+1$, hay $b_n$ là hợp số với mọi $n\geq k+1$, do đó dãy số $b_n$ chỉ chứa hữu hạn số nguyên tố với mọi số nguyên không âm $k$.

[PSW]

Chấm điểm
Trungpbc: 10 điểm