Chủ đề này có 3 trả lời

[Mr. Big Problem]

Các bạn này,trong mục này mình muốn thảo luận về ý tưởng của khái niệm tập đo được.
Chúng ta xét lý thuyết độ đo trên đại số và -đại số.Chúng ta biết :

1)tập A đo được theo Lebesgue nếu E,m(E)=m(E\A)+m(E A).

2)Trong không gian đo tổng quát có thể chứng minh được tiêu chuẩn đo được Lebesgue là :
A đo được <--> >0, C -đại số sao cho m(A E)< .

3)Nhờ vào khái niệm (1) mà Caratheodory và nhiều nhà toán học khác giải quyết được vấn đề khuếch đại độ đo,trong đó có sự kiện đáng ghi nhớ là tập tất cả các tập đo được L tạo thành một -đại số.

Nhưng ai bắt đầu học cũng cảm thấy ngay rằng khái niệm tập đo được là không được tự nhiên lắm (rõ ràng người ta không thể tự nhiên đẻ ra khái niệm này rồi suy ra tập tất cả các tập đo được tạo thành -đại số,rồi từ đó giải quyết (3)!).Vậy nên mục này Mr.BP muốn mở ra để cùng thảo luận về ý tưởng nào đã giúp người ta nghĩ ra khái niệm tập đo được!Mời các bạn đưa ra suy nghĩ.

[thuantd]

1)tập A đo được theo Lebesgue nếu  E,m(E)=m(E\A)+m(E A).

Cũng giống như việc xây dựng tập số thực. Các số vô tỉ được xây dựng bằng một dãy các số hữu tỷ.
Tập A chưa chắc đo được (cũng giống như các số vô tỉ không biết nằm ở đâu), nhưng nó có thể đo gần đúng bằng cách sử dụng các tập E trung gian... Nếu việc phân chia tập E như vế phải của đẳng thức trên không làm sai độ đo của E bao nhiêu thì ta có thể xem A đo được với ý nghĩa tập A có thể đo gần đúng, sai số không đáng kể bởi một tập E đo được nào đấy....
Tập E lấy tùy ý trong các tập đo được để ta không cần lo lắng về việc chọn E phải thỏa những tính chất đặc biệt nào đấy (mà nếu vậy thì chưa chắc đã tồn tại).

[tnk]

Theo mình hiểu thì, khái niệm tập đo được có lẽ bắt đầu từ việc quan sát 1 số hàm số mà ta ko thể lấy tích phân bằng cách cắt ra làm n đoạn rồi cộng lại được. Cụ thể là tích phân Riemann "bất lực" trước các hàm số loại như thế, nên buộc người ta phải nhìn lại vấn đề. Đầu tiên có lẽ là chuyện: Nếu 1 đoạn thẳng AB, ta chỉ vất đi 1 điểm để chia ra làm 2 đoạn thẳng thì tổng độ dài của 1 đoạn đó vẫn bằng độ dài đoạn AB. Bây giờ nếu cứ liên tục vất đi như thế thì cái gì sẽ xảy đến, 1 dãy hàm số định nghĩa trên tập mới có giới hạn thế nào, rồi thì tích phân của nó...?? Kiến thức mình nông cạn, chắc chỉ biết đến đó thôi, có gì các bạn cứ góp ý.

[vinhspiderman]

Tại hạ có một ý rất ngược,chẳng hiểu có hợp lý không nữa!

1)Nếu chúng ta chấp nhận là biết khái niệm độ đo ngoài trước.Bởi fì khái niệm này khá tự nhiên (đo được mọi tập hợp,tập rỗng nhận giá trị không và tách một hình ra thì số đo được không thể bé hơn số đo hình đầu).

2)Sau khi biết độ đo ngoài,người ta lại để ý rằng nó có tính chất là nếu nó hũu hạn cộng tính thì nó là xích ma cộng tính (cái này chứng minh dễ dàng).Như vậy người ta nảy ra ý tưởng xét lớp các tập mà trên đó độ đo ngoài là hữu hạn cộng tính.
Với ý tưởng như trên,người ta "mày mò" ra khái niệm tập đo được.

Đây chỉ là "tưởng tượng" của tại hạ mà thôi,chẳng biết nó có "tự nhiên" không nhỉ?