Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Thanh Ha

Thanh Ha

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-05-2009 - 08:43

Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$



#2 le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Vân Nội

Đã gửi 01-08-2012 - 17:17

TXD:$D=\mathbb{R}$
Tính đạo hàm
\begin{align}
y'&=\frac{2(x^2-x+1)-(2x-1).(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\\
&=\frac{2x^2-2x+2-4x^2+4x-1}{(x^2-x+1)^2}=\frac{-2x^2+2x+1}{(x^2-x+1)^2}\\
y''&=\frac{(-4x+2)(x^2-x+1)^2-2(x^2-x+1)(2x-1)(-2x^2+2x+1)}{(x^2-x+1)^4}\\
&=\frac{(4x-2)\left [ (x^2-x+1)-(-2x^2+2x+1) \right ]}{(x^2-x+1)^3}\\
&=\frac{(4x-2)(3x^2-3x)}{(x^2-x+1)^3}\\
\end{align}
Giải phương trình $y''=0$ để tìm hoành độ điểm uốn ta được các nghiệm :$x=0;x=1;x=\frac{1}{2}$
Vậy tọa độ các điểm uốn là $A(0;-1);B(1;1);C(\frac{1}{2};0)$.
Dễ thấy 3 điểm trên đều nằm trên đường thẳng $y=2x-1$
Suy ra đồ thị hàm số trên có 3 điểm uốn thẳng hàng
_________________
Bổ sung: để chắc chắn các điểm trên là 3 điểm uốn của đồ thị, ta chỉ cần xét dấu đạo hàm bậc hai của chúng.
Với $x <0\Rightarrow y''<0$ suy ra hàm số lõm ( dạng úp xuống dưới)
Với $x \in(0;\frac{1}{2})\Rightarrow y''>0$ hàm số lồi ( ngửa lên trên)
Với $x\in (\frac{1}{2};1)\Rightarrow y''<0$ hàm số lõm( úp )
Với $x>1\Rightarrow y''>0$ hàm số lồi (ngửa)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 01-08-2012 - 18:22


#3 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 01-08-2012 - 18:50

$\fbox{Liên tưởng}$Một bài toán tổng quát dạng tương tự
CMR: Với mọi $a\in R$
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+a}{x^2+x+1}$ luôn có 3 điểm uốn thẳng hàng
Cách chứng minh:

File gửi kèm


Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-08-2012 - 21:50

Chấm điểm:
le_hoang1995: 10 điểm
hoangtrunghieu22101997: 5 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh