Chuỗi số sau hội tụ khi nào:
$$\sum_{n=1}^{+\infty } sin \dfrac{1}{n^p}tan\dfrac{1}{n^q}$$
Điều kiện $p>0, q>0.$
Chuỗi số sau hội tụ khi nào: $$\sum_{n=1}^{+\infty } sin \dfrac{1}{n^p}tan\dfrac{1}{n^q}$$
#2
Đã gửi 05-01-2015 - 21:38
Chuỗi số sau hội tụ khi nào:
$$\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$$
Điều kiện $p>0, q>0.$
Do $\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n^q}=0$ nên $ \exists N_0 \in \mathbb{N}, \forall n \ge N_0, 0<\frac{1}{n^p}, \frac{1}{n^q}<\frac{\pi}{2} $
Suy ra, $\forall n \ge N_0, \sin \dfrac{1}{n^p}\tan\dfrac{1}{n^q}>0$
Chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ và $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ có cùng tính chất nên ta chỉ cần tìm điều kiện $(p;q)$ để $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ.
Do $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}}{\frac{1}{n^{p+q}}}=1$ nên $\exists N_1 \in \mathbb{N},N_1>N_0 \; , \; \begin{cases}0<\sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}<\frac{2}{n^{p+q}} \\ 0<\frac{1}{n^{p+q}}<2\sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q} \end{cases}$
Suy ra chuỗi $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ khi và chỉ khi $\sum_{n=N_0} \frac{1}{n^{p+q}}$ hội tụ.
Chuỗi $\sum_{n=N_0} \frac{1}{n^{p+q}}$ hội tụ nếu và chỉ nếu $p+q>1$, do đó $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ nếu và chỉ nếu $p+q>1$
Như vậy, $\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ khi và chỉ khi $p+q>1, \; (p;q) \in (\mathbb{R}_+^*)^2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 05-01-2015 - 21:40
- vo van duc, Ispectorgadget, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh