Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * - 3 Bình chọn

Chuỗi số sau hội tụ khi nào: $$\sum_{n=1}^{+\infty } sin \dfrac{1}{n^p}tan\dfrac{1}{n^q}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nguyễn thảo huyền

nguyễn thảo huyền

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:lạng sơn

Đã gửi 26-05-2009 - 14:39

Chuỗi số sau hội tụ khi nào:
$$\sum_{n=1}^{+\infty } sin \dfrac{1}{n^p}tan\dfrac{1}{n^q}$$
Điều kiện  $p>0, q>0.$
 


cố gắng học hỏi
cố gắng tìm hiểu
cố gắng hết sức
yêu môn toán đau đầu
haha
cố lên huyền béo

#2 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 05-01-2015 - 21:38

Chuỗi số sau hội tụ khi nào:
$$\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$$
Điều kiện  $p>0, q>0.$
 

 

Do $\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n^p}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n^q}=0$ nên $ \exists N_0 \in \mathbb{N}, \forall n \ge N_0, 0<\frac{1}{n^p}, \frac{1}{n^q}<\frac{\pi}{2} $

 

Suy ra, $\forall n \ge N_0, \sin \dfrac{1}{n^p}\tan\dfrac{1}{n^q}>0$

 

Chuỗi $\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ và $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ có cùng tính chất nên ta chỉ cần tìm điều kiện $(p;q)$ để $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ.

 

 

Do $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}}{\frac{1}{n^{p+q}}}=1$ nên $\exists N_1 \in \mathbb{N},N_1>N_0 \; , \; \begin{cases}0<\sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}<\frac{2}{n^{p+q}} \\ 0<\frac{1}{n^{p+q}}<2\sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q} \end{cases}$

 

Suy ra chuỗi $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ khi và chỉ khi $\sum_{n=N_0} \frac{1}{n^{p+q}}$ hội tụ.

 

Chuỗi $\sum_{n=N_0} \frac{1}{n^{p+q}}$ hội tụ nếu và chỉ nếu $p+q>1$, do đó $\sum_{n=N_0}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ nếu và chỉ nếu $p+q>1$

 

Như vậy, $\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \frac{1}{n^p}\tan\frac{1}{n^q}$ hội tụ khi và chỉ khi $p+q>1, \; (p;q) \in (\mathbb{R}_+^*)^2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 05-01-2015 - 21:40

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh