Đến nội dung

Hình ảnh

Hình học đại số và hình học số học hiện đại

- - - - -

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
nldthi

nldthi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Xin chào!

Tôi mở 1 threat mới nhằm 1 mặt post lên 1 số hướng hẹp nghiên cứu hiện tại của lãnh vực rộng lớn hình học đại số số học, mặt khác topic này sẽ được cố định là nơi trao đổi thường xuyên trên diễn đàn xoay xung quanh hình học đại số/lý thuyết số, hy vọng nhận được sự cổ vũ nhiệt tình của mọi người và sự tham gia thảo luận sôi nổi của đông đảo các thành viên đang học, làm, nghiên cứu trong hình học đại số.

Bài mở đầu tôi muốn giới thiệu sơ qua về Voevodsky's work xung quanh Homology of schemes, trên thực tế thì đây hoàn toàn là hình học đại số trừu tượng và rất khó có thể nhìn ra các ứng dụng số học từ nó. Dẫu vậy, lý thuyết này cho phép người ta tiếp cận rất gần tới 1 ý tưởng hoàn chỉnh về Motives của Grothendieck, 1 lý thuyết theo sự khẳng định của ông, sẽ cho phép người ta có 1 hiểu biết toàn diện về các tính chất số học của đa tạp đại số.

Trên thực tế trong paper về Standard Conjecture, Grothendieck đã nhắc tới Motives như 1 powerful theory, mà hệ quả của nó là các giả thuyết mang tính dự đoán số học như Weil, Tate, hoặc hình học như Hodge sẽ được đồng thời được rút ra từ nó. Tuy nhiên hiện nay người ta vẫn còn rất xa mới đạt tới sự hiểu biết tường tận về chứng minh của các giả thuyết này cũng như việc xây dựng hoàn chỉnh phạm trù mixed motives (1 phạm trù còn đang được giả thuyết). Dẫu thế vẫn tồn tại 1 số hướng nhỏ lẻ khác, cố gắng chứng minh Standard Conjecture của Grothendieck không thông qua motives (việc kiểm chứng các paper này trên trang K-theory chắc cũng phải mất khá nhiều thời gian).

Lý thuyết pure Motives, được suggest bởi Grothendieck, có thể xem là đã được hiểu tương đối kỹ, mặc dù vẫn tồn tại rất nhiều giả thuyết, như Bloch conjecture, Murre conjecture hay Bloch-Beilinson conjecture, đều là những hòn đá tảng rất khó gặm. Lý thuyết mixed Hodge của Deligne có thể xem là 1 ứng cử viên để hiểu mixed Motives, nói 1 cách khác, đi tìm 1 lý thuyết về mixed Motives có nghĩa là người ta tìm 1 lý thuyết universal, mô phỏng cấu trúc Hodge trộn. Điều này có thể hiểu 1 cách thô sơ như việc phạm trù abelian là 1 dạng mô phỏng phạm trù các modules.

Phải mãi tới những năm 1986(?) sau 1 kết quả mang tính gợi mở của Beilinson về absolute Hodge cohomology, người gợi mở và truyền cảm hứng để xây dựng 1 lý thuyết đối đồng điều motivic với các tính chất đã được Beilinson dự đoán, thì ý tưởng về 1 đối đồng điều mang tính phổ dụng cho toàn bộ các lý thuyết đối đồng điều mới có những tiên đề đầu tiên (mà chưa được xây dựng và chỉ hoàn toàn mang tính conjectural vào lúc đó).

Trong luận án tiến sĩ của mình, Verdier, học trò của Grothendieck, đã trừu tượng hóa để mô phỏng lại Đại Số Đồng Điều dưới ngôn ngữ của phạm trù dẫn xuất (Derived Category) thay vì con đường truyền thống. Và do đó, thời nay người ta hoàn toàn thấu hiểu cách để tạo ra 1 lý thuyết đối đồng điều.

Đối đồng điều bó, hiểu theo Grothendieck, có nghĩa là sự mở rộng của bó hằng bởi 1 bó hệ số nào đó, và theo Verdier thì mở rộng này không gì khác hơn là các cấu xạ trong phạm trù dẫn xuất, tức là địa phương hóa phạm trù đồng luân của các phạm trù các phức của bó bằng cách nghịch đảo các tựa đẳng cấu.

Có thể nói Voevodsky's work về Homology of Schemes dựa hoàn toàn vào machinery này của Đại Số Đồng Điều, tuy nhiên khác với Pure Motives, lý thuyết người ta sử dụng Correspondences của các lược đồ như là algebraic Cycles modulo rational equivalence, thì ý tưởng của Voevodsky là xét Correspondences hữu hạn và không sử dụng tương đương hữu tỷ. Điều này cho phép người ta xây dựng được phạm trù dẫn xuất tensor của các Motives hình học, tức là địa phương hóa của phạm trù đồng luân bị chặn của phạm trù tensor các Correspondences. Ở đây motives hình học có thể hiểu như là việc ta nghịch đảo 1 cách formally các Lefschetz motif (hiểu như là đường thẳng affine).

Ý tưởng loại bỏ không dùng tương đương hữu tỷ như trong lý thuyết Chow motifs của Voevodsky được supported bởi quan điểm nhìn nhận tương đương hữu tỷ được xem như là đồng luân giữa các cấu xạ trong phạm trù Correspondences (tương ứng), tuy nhiên ta phải xét xem tính finite (hữu hạn) để nhận được 1 phạm trù tensor.

Dựa trên xây dựng này người ta nhận được hàm tử từ phạm trù các lược đồ trơn (không nhất thiết phải xạ ảnh hoặc proper, nói 1 cách cổ điển đây có thể xem như là Theorie de Hodge II của Deligne về cấu trúc Hodge cho các đa tạp phức mở) vào phạm trù tam giác hóa (triangulated) các Motives hình học, hiểu như là tương ứng 1 lược đồ trơn với 1 phức nào đó. Do đó đối đồng điều motivic hoàn toàn được defined và tích hợp (cup product) của nó được hiểu như là tích tensor trên các phức.

Trên thực tế thì originally, Voevodsky bắt đầu với cycle complexes của G_m, và xem đối đồng điều mô típ như là hypercohomology (siêu đối đồng điều) trên topo Zariski của phức mô típ, định nghĩa thông qua khái niệm tiền bó trung chuyển (presheaf with transfer), được hiểu như nôm na là bó có tính chất bất biến khi lấy tích với đường thẳng affine, 1 dạng như kiểu như tính bất biến homotopy (có thể lấy ví dụ như nhóm Chow cổ điển).

Trong paper về Homology of Schemes của mình, Voevodsky trên thực tế xây dựng phạm trù DM(S) với topo Grothendieck toàn cục (tức là 1 big site thực sự) được gọi là h-topo và qfh-topo. Quan điểm của h-topo hơi giống với việc giải kỳ dị của lược đồ trên base scheme, mặc dù ta hoàn toàn không có Hironaka'theorem ngoại trừ trường hợp base của ta là trường có đặc số 0. Nó cũng rất gần với lý thuyết về sự thay đổi (alteration) của DeJong, được xem như là thay thế cho Hironaka, khi ta xét base là 1 vành định giá đầy đủ rời rạc.

Như vậy đối đồng điều mô típ có thể xem là đối đồng điều tương ứng với 1 topo Grothendieck toàn cục và khi hạn chế xuống các bó có topo etale thì ta thu được đối đồng điều etale theo nghĩa thông thường.
Phần sau tôi sẽ cố gắng nói 1 số ý tưởng để lấy được thông tin số học từ lý thuyết của Voevodsky, được supported bởi việc nghiên cứu cấu xạ các lớp chu trình (cylce class map) từ đối đồng điều mô típ vào đối đồng điều etale, mặc dù xây dựng nó hoàn toàn không tầm thường nếu ta muốn mở rộng cho base scheme là 1 vành định giá rời rạc đầy đủ (Levine's work). Hiện đã có bài của Geisser mở rộng tiếp kết quả của Levine lên base scheme là 1 miền Dedekind.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh