Trước khi vào vấn đề chính, chúng ta cần tiềm hiểu một số vấn đề liên quan tới số e.
- Ta bit rằng trong quá trình tính toán lãi xuất (trong các ngân hàng) đã dẫn đến việc phải tìm giới hạn của dãy số ${a}_{n}= {(1+\dfrac{1}{n})}^{n}$ khi n tiến về vô cực. Vì vậy đầu tiên ta phải CM được rằng dãy số trên phải có giới hạn.
- Để tránh dài dòng tôi sẽ chỉ nêu ra ý tưởng CM:
+ Rõ ràng (${a}_{n}$) là một dãy tăng.
+ Tôi xét dãy số ${b}_{n}= {(1+\dfrac{1}{n})}^{n+1}$. và đây là một dãy giảm.
+ Hơn thế nữa ta luôn có ${a}_{n}$ $\leq $ ${b}_{n}$.
Từ những điều đó ta thấy rằng nếu n tằng dần thì khoảng (${a}_{n}$;${b}_{n}$) dang dần co lại.Vì vậy rõ ràng hai dãy số này đều có giới hạn. Và tôi đã cho chúng ta thấy rằng dãy (${a}_{n}$) có giới hạn, và giới hạn đó chính là số e.
- Bạn có nghĩ rằng số e bí ẩn lại được hình thành từ những số tự nhiên? tôi biểu diễn số e như thế này:
$e = 1 +$ $\dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!}$ + ... ( tất nhiên đây là một chuỗi vô hạn). Bạn nghĩ sao?
Nói một cách tổng quát ta có:
${e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{{x}^{2}}{2!} + \dfrac{{x}^{3}}{3!} + ...$. Các bạn nên thử sức với những chuỗi vô hạn trên!
- Từ công thức trên, ngoài cách tính đạo hàm của hàm số $y = {e}^{x}$ bằng giới hạn để thấy rằng (${e}^{x}$)' = ${e}^{x}$, ta cũng có thể áp dụng cách lấy đạo hàm thông thường cho một hàm đa thức để thấy được điều đó. Và đó chính là cái thú vị của hàm số liên quan đền con số đặc biệt này.
Tiếp tục vấn đề. Tôi sẽ tìm nguyên hàm $I = \int\dfrac{{e}^{x}}{x}dx$ theo hai cách:
+ Thứ nhất: theo công thức khai triển dạng đa thức của ${e}^{x} $ như đã nói trên, ta có:
$I = \int (\dfrac{1}{x} + 1 + \dfrac{x}{2!} + \dfrac{{x}^{2}}{3!} + ...)dx$
$ = lnx + x + \dfrac{{x}^{2}}{2.2!} + \dfrac{{x}^{3}}{3.3!} + ... + {C}_{1}$
$= l(x) + {C}_{1}$
(tất nhiên $l(x)$ là chuỗi vô hạn trên và ${C}_{1}$ là một hằng số )
Và tôi sẽ cho chúng ta thấy rằng $l(x)$ là một chuỗi hội tụ.
Trước tiên ta thấy rằng với x > 0 ( ĐK xác định của $lnx$) thì:
$l(x)$$< lnx + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{{x}^{2}}{2!} + \dfrac{{x}^{3}}{3!} + ...$$= lnx + {e}^{x} - 1$
Ta thấy rằng x là một hằng số chọn trước nên rõ ràng $l(x)$ là một chuỗi tăng, mà nó bị chặn trên bởi giá trị $(lnx + {e}^{x} - 1)$, nên
nó phải có giới hạn, tôi giả sử giới hạn đó bằng $\zeta(x) $.Vay:
$I = \zeta(x) + {C}_{1}$.
+ Típ theo bằng phương pháp tấy tích phân từng phần, tối có dc:
$I' =$$\int \dfrac{{e}^{x}}{x}dx = $ $ \dfrac{{e}^{x}}{x}(1 + \dfrac{1!}{x} + \dfrac{2!}{{x}^{2}} + ...)$$+ {C}_{2}$
Chúng ta có thể lấy đạo hàm hai vế để kiểm chứng điều này, xuất phát từ đạo hàm của vế trái, và nó bằng:
$ = ({e}^{x}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...))'$
$ = ({e}^{x})'(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...) + {e}^{x}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...)'$
$ = {e}^{x}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...) + {e}^{x}( -\dfrac{1}{{x}^{2}} - \dfrac{2!}{{x}^{3}} - ...)$
$ = \dfrac{{e}^{x}}{x}$ (!)
Bạn có nhận thấy ở đây một điều đặc biệt? Tôi chứng minh được rằng chuỗi $I'$ lại là một lượng vô cùng!?! Cũng không có gì phức tạp, tôi nhận thấy rằng giới hạn của dãy số cấu tạo nên các số hạng của chuỗi trên có dạng ${a}_{n} = \dfrac{n!}{{x}^{n}}$(tôi chỉ xét chuỗi trong ngoặc, bởi vì lượng bên ngoài là một hằng số), mà rõ ràng $lim {a}_{n} $ bằng cộng vô cùng ( tất nhiên là với một x xác định), cái này CM ko khó, các bạn có thể CM thử.( ặc! kí hiệu cộng vô cùng ở đâu ta?!). Tóm lại như tôi đã kết luận, $I'$ là một lượng vô cùng với mọi x dương.
Bây giờ chúng ta hãy tổng hợp lại những điều trên, rõ ràng ta thấy rằng:
$(I)' = (I')'$, điều này tương đương với:
$I = I' + C$, trong đó hiển nhiên C là một hằng số.
Như vậy tôi kết luận rằng:" Một lượng hữu hạn lại bằng một lượng vô cùng!". Bạn có thể giải thích được điều này ko? Tôi đang chờ ý kiến của các bạn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenjimeo: 27-05-2009 - 11:03