Đến nội dung

Hình ảnh

Một nghịch lý chăng?!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#21
kenjimeo

kenjimeo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Ah! Uhm, tại sao vội vàng kết luận vô cực trừ vô cực lại không xác định? Tôi chứng minh được rằng nó cũng bằng cộng vô cùng đấy! Các pác í dễ bỏ cuộc thế?! Tôi nghĩ không khó hiểu như pác Abel nói đâu!

#22
akka47

akka47

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Ah! Uhm, tại sao vội vàng kết luận vô cực trừ vô cực lại không xác định? Tôi chứng minh được rằng nó cũng bằng cộng vô cùng đấy! Các pác í dễ bỏ cuộc thế?! Tôi nghĩ không khó hiểu như pác Abel nói đâu!

Cưng ah ;nói chung vẫn chưa hiểu gì cả nhỉ .Thôi đừng nói không nữa ;viết cái chứng minh ra anh chỉ cho sai chỗ nào.

#23
kenjimeo

kenjimeo

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Ah! tôi đã tìm ra đc vấn đề dẫn đến nghịch lý rồi! Nó là như vầy:
Trong tích phân I', nếu dùng phương pháp tích phân từng phần thì ta có:
$I' = \int_{a}^{b}\dfrac{{e}^{x}}{x}dx = \sum \dfrac{k!{e}^{b}}{{b}^{k+1}} - \sum \dfrac{k!{e}^{a}}{{a}^{k+1}} + n!\int_{a}^{b} \dfrac{{e}^{x}}{{x}^{n+1}} (0\leq k \leq n)$
như vậy nếu viết tích phân I' như lúc đầu (với n tiến về vô cùng) thì rõ ràng ta đã bỏ wa lượng có dạng K = $n!\int_{a}^{b} \dfrac{{e}^{x}}{{x}^{n+1}} $. Bởi vậy chính lượng còn lại tiến về trừ vô cực ( hôm trước ghi lộn là cộng vô cùng) mà ta tuởng rằng cả tích phân I' cũng tiến về vô cực! Có thể thấy rằng chính lượng K đã tiến về cộng vô cực để bù trừ và cho ra I' phải là một lượng hữu hạn! Vậy rõ ràng nghịch lý có được từ chỗ ta đã quên mất "một tên khổng lồ"! Cảm ơn các pác đã tích cực giúp đỡ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenjimeo: 03-06-2009 - 18:02


#24
Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
Thật là may quá :D
ko co j` thi` cg~ chang~ co' j` !!!

#25
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết

Trong quá trình khảo sát hàm số f(x)=$\dfrac{{e}^{x}}{x}$, đã dẫn tôi đến việc phải tính nguyên hàm của hàm số trên.Và tôi đã đi đến một kết quả thật khó tin! Một lượng hữu hạn lại bằng với một lượng vô hạn!
Trước khi vào vấn đề chính, chúng ta cần tiềm hiểu một số vấn đề liên quan tới số e.
- Ta bit rằng trong quá trình tính toán lãi xuất (trong các ngân hàng) đã dẫn đến việc phải tìm giới hạn của dãy số ${a}_{n}= {(1+\dfrac{1}{n})}^{n}$ khi n tiến về vô cực. Vì vậy đầu tiên ta phải CM được rằng dãy số trên phải có giới hạn.
- Để tránh dài dòng tôi sẽ chỉ nêu ra ý tưởng CM:
+ Rõ ràng (${a}_{n}$) là một dãy tăng.
+ Tôi xét dãy số ${b}_{n}= {(1+\dfrac{1}{n})}^{n+1}$. và đây là một dãy giảm.
+ Hơn thế nữa ta luôn có ${a}_{n}$ $\leq $ ${b}_{n}$.
Từ những điều đó ta thấy rằng nếu n tằng dần thì khoảng (${a}_{n}$;${b}_{n}$) dang dần co lại.Vì vậy rõ ràng hai dãy số này đều có giới hạn. Và tôi đã cho chúng ta thấy rằng dãy (${a}_{n}$) có giới hạn, và giới hạn đó chính là số e.
- Bạn có nghĩ rằng số e bí ẩn lại được hình thành từ những số tự nhiên? tôi biểu diễn số e như thế này:
$e = 1 +$ $\dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!}$ + ... ( tất nhiên đây là một chuỗi vô hạn). Bạn nghĩ sao?
Nói một cách tổng quát ta có:
${e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{{x}^{2}}{2!} + \dfrac{{x}^{3}}{3!} + ...$. Các bạn nên thử sức với những chuỗi vô hạn trên!
- Từ công thức trên, ngoài cách tính đạo hàm của hàm số $y = {e}^{x}$ bằng giới hạn để thấy rằng (${e}^{x}$)' = ${e}^{x}$, ta cũng có thể áp dụng cách lấy đạo hàm thông thường cho một hàm đa thức để thấy được điều đó. Và đó chính là cái thú vị của hàm số liên quan đền con số đặc biệt này.
Tiếp tục vấn đề. Tôi sẽ tìm nguyên hàm $I = \int\dfrac{{e}^{x}}{x}dx$ theo hai cách:
+ Thứ nhất: theo công thức khai triển dạng đa thức của ${e}^{x} $ như đã nói trên, ta có:
$I = \int (\dfrac{1}{x} + 1 + \dfrac{x}{2!} + \dfrac{{x}^{2}}{3!} + ...)dx$
$ = lnx + x + \dfrac{{x}^{2}}{2.2!} + \dfrac{{x}^{3}}{3.3!} + ... + {C}_{1}$
$= l(x) + {C}_{1}$
(tất nhiên $l(x)$ là chuỗi vô hạn trên và ${C}_{1}$ là một hằng số )
Và tôi sẽ cho chúng ta thấy rằng $l(x)$ là một chuỗi hội tụ.
Trước tiên ta thấy rằng với x > 0 ( ĐK xác định của $lnx$) thì:
$l(x)$$< lnx + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{{x}^{2}}{2!} + \dfrac{{x}^{3}}{3!} + ...$$= lnx + {e}^{x} - 1$
Ta thấy rằng x là một hằng số chọn trước nên rõ ràng $l(x)$ là một chuỗi tăng, mà nó bị chặn trên bởi giá trị $(lnx + {e}^{x} - 1)$, nên
nó phải có giới hạn, tôi giả sử giới hạn đó bằng $\zeta(x) $.Vay:
$I = \zeta(x) + {C}_{1}$.
+ Típ theo bằng phương pháp tấy tích phân từng phần, tối có dc:
$I' =$$\int \dfrac{{e}^{x}}{x}dx = $ $ \dfrac{{e}^{x}}{x}(1 + \dfrac{1!}{x} + \dfrac{2!}{{x}^{2}} + ...)$$+ {C}_{2}$
Chúng ta có thể lấy đạo hàm hai vế để kiểm chứng điều này, xuất phát từ đạo hàm của vế trái, và nó bằng:
$ = ({e}^{x}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...))'$
$ = ({e}^{x})'(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...) + {e}^{x}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...)'$
$ = {e}^{x}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1!}{{x}^{2}} + \dfrac{2!}{{x}^{3}} + ...) + {e}^{x}( -\dfrac{1}{{x}^{2}} - \dfrac{2!}{{x}^{3}} - ...)$
$ = \dfrac{{e}^{x}}{x}$ (!)
Bạn có nhận thấy ở đây một điều đặc biệt? Tôi chứng minh được rằng chuỗi $I'$ lại là một lượng vô cùng!?! Cũng không có gì phức tạp, tôi nhận thấy rằng giới hạn của dãy số cấu tạo nên các số hạng của chuỗi trên có dạng ${a}_{n} = \dfrac{n!}{{x}^{n}}$(tôi chỉ xét chuỗi trong ngoặc, bởi vì lượng bên ngoài là một hằng số), mà rõ ràng $lim {a}_{n} $ bằng cộng vô cùng ( tất nhiên là với một x xác định), cái này CM ko khó, các bạn có thể CM thử.( ặc! kí hiệu cộng vô cùng ở đâu ta?!). Tóm lại như tôi đã kết luận, $I'$ là một lượng vô cùng với mọi x dương.
Bây giờ chúng ta hãy tổng hợp lại những điều trên, rõ ràng ta thấy rằng:
$(I)' = (I')'$, điều này tương đương với:
$I = I' + C$, trong đó hiển nhiên C là một hằng số.
Như vậy tôi kết luận rằng:" Một lượng hữu hạn lại bằng một lượng vô cùng!". Bạn có thể giải thích được điều này ko? Tôi đang chờ ý kiến của các bạn!

Có quá nhiều sự ngụy biện ở đây (ít nhất là 2).

1) Tính nguyên hàm sai. Phải ra $ln|x|$. CHứ lúc đầu $x$ là số thực tùy ý, lúc sau lại biến thành số dương???

2) Nếu cố định $x$ thì nó thành chuỗi số chứ không phải chuỗi hàm, và giá trị của vế trái lẫn vế phải đều là hằng số, chẳng có gì để nói chuyện. $x$ phải là biến chạy mới nói tới sự hội tụ hay phân kỳ.

Nhiêu đó đã đủ fail rùi  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 05-01-2016 - 02:29

Tìm lại đam mê một thời về Toán!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh