Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1205 trả lời

#501
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Ai giúp mình bài này với, cần gấp 

Cho a,b,c>0 thoả  mãn abc=1. Tìm Giá trị lớn nhất của :

$\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$

 

dấu "=" xayr ra khi nào ấy nhỉ

bài này là tìm min mới đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 21-11-2013 - 20:14


#502
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

bài này là tìm min mới đúng

Min = 4. dùng Cô Si ngược dấu

min bằng mấy, 4 hả, làm hẳn ra mình thử xem nào, hay mình nhầm nhỉ :icon6:


 B.F.H.Stone


#503
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

min bằng mấy, 4 hả, làm hẳn ra mình thử xem nào, hay mình nhầm nhỉ :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 21-11-2013 - 20:17


#504
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

bài này là tìm min mới đúng

$\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

CMTT

nếu là tìm min, áp dụng AM-GM ta có $\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}}=3$


 B.F.H.Stone


#505
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

nếu là tìm min, áp dụng AM-GM ta có $\sum \frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}}=3$

mik lại đọc nhầm gt bạn j ơi, sr nhé :lol:  :ukliam2:



#506
Cao thu

Cao thu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Bài toán tìm max nhé.



#507
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P(x)=\frac{2011x+2012\sqrt{1-x^2}+2013}{\sqrt{1-x^2}}\left ( \left | x \right | < 1\right )$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#508
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Giải giúp em bài này với 

Cho a>0 b>0 c>0 a+b+c=1

Tìm GTNN của P = (1+a2)(1+b2)(1+c2)

Tham khảo tại 2808

Nếu chưa học về đạo hàm thì có thể nhân tung ra rồi nhóm nhân tử, có nghiệm $x=\frac{1}{3}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#509
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng : $\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#510
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng : $\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

                              $\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}(\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b})\geqslant (a^3+b^3+c^3)^2$

            $\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b}}$

Áp dụng tiếp Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có 

            $\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{(a+b+c)(b+c+a+c+a+b)}=\sqrt{2}(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sqrt{2}(a+b+c)}\geqslant \frac{\left [ \frac{(a+b+c)^3}{9} \right ]^2}{\sqrt{2}(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^5}{81\sqrt{2}}$

Lại có $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3$

        $\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{3^5}{81\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#511
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=2.Cmr: \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-(a+b+c)\geq \frac{\sqrt{6}}{2}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#512
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#513
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1.Cmr: \left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#514
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=2.Cmr: \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-(a+b+c)\geq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ta có $P\geqslant \frac{9}{a+b+c}-(a+b+c)$

Lại có $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{6}$

   $\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{\sqrt{6}}-\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{6}}{3}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#515
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

 Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

    $\sum \frac{a^3}{b+c+d}=\sum \frac{a^4}{a(b+c+d)}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{\sum a(b+c+d)}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{\sqrt{3}}{2}$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#516
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

Cách khác :

Do vai trò của $a,b,c,d$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} a^3\geqslant b^3\geqslant c^3 \geqslant d^3 \\ \frac{1}{b+c+d}\geqslant \frac{1}{a+c+d}\geqslant \frac{1}{a+b+d}\geqslant \frac{1}{b+c+d} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev và AM-GM ta có 

              $P\geqslant \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4}\sum \frac{1}{a+b+c}\geqslant \frac{4(a^3+b^3+c^3+d^3)}{3(a+b+c+d)}$

Áp dụng bất đẳng thức đơn điệu hoặc AM-GM ta cũng có 

              $\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{4}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{16}{12}.\frac{3}{4}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{\sqrt{3}}{2}$

         


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#517
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

Theo Cauchy-Schwarz có $\sum \frac{a^{3}}{b+c+d}.\sum a\left ( b+c+d \right )\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}=9$

Mặt  khác $\sum a\left ( b+c+d \right )\leq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=9$ ( theo AM-GM )

Do đó  \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#518
Cao thu

Cao thu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Ai giúp mình bài này với, cần gấp 

Cho a,b,c>0 thoả  mãn a+b+c=1. Tìm Giá trị lớn nhất của :

$\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}+\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao thu: 25-11-2013 - 19:11


#519
phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

một số bđt, m.n cùng giải nha :lol:

 

 

1476293_440347039400485_2043801458_n.jpg


:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#520
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1.Cmr: \left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$

BĐT $\Leftrightarrow (a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)\leqslant 1$

Nhân tung tóe ra ta được $\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c \leqslant a^2b+b^2c+c^2a+3$

Do $abc=1$ nên đặt $a,b,c=\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}$

BĐT trở thành $3+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\geqslant \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

                  $\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geqslant xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh