Chủ đề này có 1205 trả lời

[maikhai]

Thanks mọi người nhiều nha! Tiếp tục nhá! hì
1, Cho a,b,c,d nguyên dương
CMR: $A = \dfrac{a}{a + b + c} + \dfrac{b}{a + b + d} + \dfrac{c}{b + c + d} + \dfrac{d}{a + c + d}$ không phải là số nguyên.

2, Cho $ a, b, c>0$ và $ a + b + c = 2 $
CMR: $ \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{a + c} + \dfrac{c^2}{a + b} \geq 1 $

3, Cho a,b,c thỏa mãn $ a^2 + b^2 + c^2 = 1$. CMR:

$abc + 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) \geq 0$

4, Cho $a,b,c \neq 0 ; a^2+2bc \neq 0; b^2+2ca \neq 0; c^2 + 2ab \neq 0$ và $ a^2 + b^2 + c^2= (a + b + c)^2$
CMR: $S = \dfrac{a^2}{a^2 + 2bc} + \dfrac{b^2}{b^2 + 2ac} + \dfrac{c^2}{c^2 + 2ab} =1 $
Và $ \dfrac{bc}{a^2 + 2bc} + \dfrac{ca}{b^2 + 2ac} + \dfrac{ab}{c^2 + 2ab} = 1$

5, Cho $0 \leq a,b,c \leq 1$. CMR :

$a + b + c + \dfrac{1}{abc} \geq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 14-08-2011 - 07:21

[hoangdang]

Thank ah nhiều nha! tiếp tục nhá! hỳ
1, Cho a,b,c,d nguyên dương
CMR; A=a/(a+b+c) + b/(a+b+d) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d) không phải là số nguyên.
2, Cho a,b,c>0 và a+b+c=2
CMR; a^2/(b+c) + b^2/(a+c) c^2/(a+b) 1
3, Cho a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=1 CMR; abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0
4, Cho a,b,c 0; a^2+2bc 0; b^2+2ca 0; c^2 0 và a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2
CMR: S= a^2/(a^2+2bc) + b^2/(b^2+2ac) + c^2/(c^2+2ab) =1 và bc/(a^2+2bc) + ca/(b^2+2ac) + ab/(c^2+2ab) =1
5, Cho 0 a,b,c 1; CMR : a+b+c+1/abc 1/a+1/b+1/c+abc

Câu 1: Chứng minh 1<A<2 bằng phương pháp làm trội.
Câu 2: Như mấy câu trên.

[vietfrog]

Hỏi nhiều bài vậy em. Nhiều bài tương tự những bài em vừa hỏi rồi mà.
Em phải học gõ Latex đi nhé, không lần sau anh del bài đó!
Gợi ý:
Bài 1:
Chứng minh:
$\dfrac{a}{{a + b + c + d}} < \dfrac{a}{{b + c + a}} < \dfrac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$
Tương tự sau đó công lại thấy $1<A<2$ suy ra A không nguyên!
Bài 2:
Áp dụng BĐT Shwarz có ngay:

$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2(a + b + c)}} = 1$

Bài 3:
Thế ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$ vào và biến đổi là được.
Bài 4:
Giả thiết tương đương:
$ab + bc + ac = 0$
Bài 5:
....

[NguyThang khtn]

Bài 27: Cho $a,b,c > 0$ thỏa $a + b + c = 1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}$.

Bài này không khó lém!
$P = \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}$
$ \geq \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{9}{{ab}+bc+ac}$
$ = \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} +\dfrac{1}{2({ab}+bc+ac)}+\dfrac{17}{2({ab}+bc+ac)}$
$ \geq \dfrac{9}{(a+b+c)^2} +\dfrac{17}{2\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}$
Còn cái bài tìm max của cậu xusinst mình vẫn chưa ra ai chém giùm cái!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 14-08-2011 - 11:56

[NguyThang khtn]

Một bài dùng AM-GM!
Bài 28: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm GTNN:
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2} +\sum\dfrac{1}{ab(a+b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 15-08-2011 - 12:39
Đánh số thứ tự cho bài zz

[wallunint]

Bài 25: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 = 1$. Tìm GTLN của:

$P = \sqrt x + 2\sqrt y $.

Bài này chưa có lời giải zz Có ai giải đc ko zz
Gợi ý:
+ Sử dụng bất đẳng thức $\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3}} \right) \geqslant {\left( {{axm + byn}} \right)^3}$
+ Từ đó, ta cần chứng minh: $\sqrt x + 2\sqrt y \leqslant \sqrt[6]{{{{\left( {1 + 2\sqrt[5]{2}} \right)}^5}}}$

Chú lớp 8 mà khiếp!
Bài 20 Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{c+b})^3+(\dfrac{c}{a+c})^3 \geq \dfrac{3}{8}$

Đây là đề thi VMO zz
Cách giải của bạn Nguyễn Hữu Huy hình như sai zz Cẩn thận cái vai trò của các biến nhé zz
Có 1 bài toán mạnh hơn như sau:

Bài 29: Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
${\left( {\dfrac{a}{{a + b}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{b}{{c + b}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{c}{{a + c}}} \right)^3} + \dfrac{{5abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \geqslant 1$

Giúp em bài này cái
Bài 21
Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{ a^{3}}{a^{2}+ab+ b^{2}}+\dfrac{ b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}$

Bạn thử chứng minh bài toán chặt hơn như sau:

Bài 30: Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + abc + {b^3}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + abc + {c^3}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + abc + {a^3}}} \geqslant \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Vì sao bất đẳng thức này lại chặt hơn ??? Các bạn tự chứng minh nhé zz


ps xusinst @: How old are you ??

ZZ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 15-08-2011 - 12:38

[Crystal]

Bài 31: Cho các số x, y, z biến thiên thỏa mãn $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + xy + {y^2} = 3} \\ {{y^2} + yz + {z^2} = 16}\end{array}} \right.$
Tìm GTLN của biểu thức: $P = xy + yz + zx$.

Lập denta cho phương trình (1), ta được: $\left\{ \begin{gathered}x \leqslant 2 \hfill \\y \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lập denta cho phương trình (2), ta được: $\left\{ \begin{gathered}y \leqslant \dfrac{8}{{\sqrt 3 }} \hfill \\z \leqslant \dfrac{8}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Từ đó, ta được: $\left\{ \begin{gathered}z \leqslant \dfrac{8}{{\sqrt 3 }} \hfill \\x \leqslant 2 \hfill \\y \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy: $P = xy + yz + xz \leqslant 4 + \dfrac{{32}}{{\sqrt 3 }}$

Sai rồi! Giải quyết theo hướng khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 15-08-2011 - 18:04

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Thanks mọi người nhiều nha! Tiếp tục nhá! hì
1, Cho a,b,c,d nguyên dương
CMR: $A = \dfrac{a}{a + b + c} + \dfrac{b}{a + b + d} + \dfrac{c}{b + c + d} + \dfrac{d}{a + c + d}$ không phải là số nguyên.

2, Cho $ a, b, c>0$ và $ a + b + c = 2 $
CMR: $ \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{a + c} + \dfrac{c^2}{a + b} \geq 1 $

3, Cho a,b,c thỏa mãn $ a^2 + b^2 + c^2 = 1$. CMR:

$abc + 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) \geq 0$

4, Cho $a,b,c \neq 0 ; a^2+2bc \neq 0; b^2+2ca \neq 0; c^2 + 2ab \neq 0$ và $ a^2 + b^2 + c^2= (a + b + c)^2$
CMR: $S = \dfrac{a^2}{a^2 + 2bc} + \dfrac{b^2}{b^2 + 2ac} + \dfrac{c^2}{c^2 + 2ab} =1 $
Và $ \dfrac{bc}{a^2 + 2bc} + \dfrac{ca}{b^2 + 2ac} + \dfrac{ab}{c^2 + 2ab} = 1$

5, Cho $0 \leq a,b,c \leq 1$. CMR :

$a + b + c + \dfrac{1}{abc} \geq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + abc$

đề bài 4 sai hả bạn , có : $2bc \leq b^2+c^2\therefore a^2 + 2bc \leq a^2+b^2+c^2 \therefore \dfrac{a^2}{a^2+2bc}\geq \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\therefore S=\sum \dfrac{a^2}{a^2+2bc}\geq 1$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c mà theo dữ kiện thì ab+bc+ca=0 nên a=b=c=0 => vô lý .

[Crystal]

Theo yêu cầu của wallunint mình xin post lời giải bài 31
Điều kiện được viết lại dưới dạng:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)^2 + \dfrac{{x^2 }}{4} = 1 \\ \dfrac{3}{{64}}z^2 + \dfrac{1}{{16}}\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)^2 = 1 \\ \end{array} \right.$

Cộng từng vế hai đẳng thức trên được:

$2 = \dfrac{1}{3}\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)^2 + \dfrac{{x^2 }}{4} + \dfrac{3}{{64}}z^2 + \dfrac{1}{{16}}\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)^2 = M\,\,\,(1)$

Sử dụng BDT $\forall a,b \in R:a^2 + b^2 \ge 2ab$, ta có:

$M \ge 2\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)z + 2\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4}\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)x = \dfrac{1}{4}\left( {xy + yz + zx} \right)\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra

$2 \ge \dfrac{1}{4}\left( {xy + yz + zx} \right) \Rightarrow P=(xy + yz + zx )\le 8$

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $x = \dfrac{7}{{\sqrt {31} }},\,\,y = \dfrac{4}{{\sqrt {31} }},\,\,z = \dfrac{{20}}{{\sqrt {31} }}$
Vậy $\max P = 8$.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Áp dụng BĐT holder ta có :
$(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^6 = (1^5.\sqrt{x}+\sqrt[5]{2}^5.\sqrt{y})^6\leq (1+2\sqrt[5]{2})^5(x^3+y^3)=(1+2\sqrt[5]{2})^5$
$\therefore \sqrt{x}+2\sqrt{y}\leq \sqrt[6]{(1+2\sqrt[5]{2})^5}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{2}} ...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 18-08-2011 - 12:45

[NguyThang khtn]

Bài 31:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $\sum \dfrac{1}{x} \leq 6(x+y+z)#$.CMR:
$\sum \dfrac{1}{2+x^2} \leq 1#$

[ncd97]

Tìm GTLN, GTNN của $x^2 + y^2 + z^2$, biết $x, y, z \in [0;1]$ và $x+y+z=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 25-08-2011 - 22:07

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Tìm GTLN, GTNN của $x^2 + y^2 + z^2$, biết $x, y, z \in [0;1]$ và $x+y+z=2$.

$x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow \min P=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}$
$x(x-1)\leq 0\Rightarrow x^2\leq x$
Tuong tu :$\Rightarrow \sum x^2\leq \sum x=2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 25-08-2011 - 22:33

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài này không khó lém!
$P = \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}$
$ \geq \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} + \dfrac{9}{{ab}+bc+ac}$
$ = \dfrac{1}{{a^2 + b^2 + c^2 }} +\dfrac{1}{2({ab}+bc+ac)}+\dfrac{17}{2({ab}+bc+ac)}$
$ \geq \dfrac{9}{(a+b+c)^2} +\dfrac{17}{2\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}$
Còn cái bài tìm max của cậu xusinst mình vẫn chưa ra ai chém giùm cái!

ANH NHÂME SAI ĐIỂM RƠI RỒI ANH ƠI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

C2 :
$2(\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{2ab} + \dfrac{1}{2bc} + \dfrac{1}{2ac})$ $2(\dfrac{1,5 + 3}{(a + b + c)^2}) = 40,5$

Mặt khác $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{a^2 + b^2 + c^2}$ $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{1}{3}} = 10,5$

Trừ 2 vế OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 30-08-2011 - 21:49

[Nguyễn Hữu Huy]

Một bài dùng AM-GM!
Bài 28: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm GTNN:
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2} +\sum\dfrac{1}{ab(a+b)}$

Xin lỗi ! Em thay biến a , b , c thành x , y ,z mất rồi ! hihhiii !
Em đoán mò vậy thôi nhé anh !
Với AM - GM ko khó khăn để thấy
$ \dfrac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + 9(x^2 + y^2 + z^2)$ $6$

$\dfrac{1}{xy(x + y)} + \dfrac{3^5xy}{2} + \dfrac{3^4(x + y)}{4}$ $\dfrac{3^4}{2} = 40,5$

$VT + 9(x^2 + y^2 + z^2) + \dfrac{3^5}{2}(xy + yz + xz) + \dfrac{3^4}{2}(x + y + z)$ $6 + 40,5.3 = 127,5$

$ VT + 9(x + y + z)^2 + 103,5(xy + yz + xz) + 40,5 $ $127,5$

$VT$ $ 127,5 - 9 - 40,5 - 103,5(xy + yz + xz)$ $78 - 103,5.\dfrac{(x + y + z)^2}{3} = 78 - 103,5.\dfrac{1}{3} = 43,5$

Vậy $Min = 43,5$ $x = y = z = \dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 28-08-2011 - 07:39

[NguyThang khtn]

Problem 29:Let $a,b,c$be the sides of a triangle, and $S#$ its area. Prove:
$a^{2}+ b^{2}+c^{2}\geq 4S \sqrt {3}#$

Unikey hong mong moi nguoi thong vam!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 05-09-2011 - 19:49

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Let $a,b,c$be the sides of a triangle, and $S#$ its area. Prove:
$a^{2}+ b^{2}+c^{2}\geq 4S \sqrt {3}#$

Theo định lý Hê-rông , ta có :
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}\leq \dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(\dfrac{b+c-a+c+a-b+a+b-c}{3})^3}=\dfrac{(a+b+c)^2}{12\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 4S\sqrt{3}\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}\leq a^2+b^2+c^2 $
QED
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[NguyThang khtn]

Bài 30:Cho các số a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn:$\sum a^2=1$
Tìm min của biểu thức:
$S=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+b}+\dfrac{d^2}{a+b}$

[CD13]

Problem 29:Let $a,b,c$be the sides of a triangle, and $S#$ its area. Prove:
$a^{2}+ b^{2}+c^{2}\geq 4S \sqrt {3}#$

Bài 29 này có rất nhiều cách giải. Các em giải thử bài này thêm nhiều cách nữa nhé!

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 30:Cho các số a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn:$\sum a^2=1$
Tìm min của biểu thức:
$S=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+b}+\dfrac{d^2}{a+b}$

Giả sử $a\geq b\geq c\geq d$
Áp dụng Bđt chebyshev , ta có :
$\sum \dfrac{a^2}{b+c}\geq \dfrac{1}{4}(\sum a^2) (\sum \dfrac{1}{b+c })\geq \dfrac{2}{\sum a}\geq \dfrac{2}{\sqrt{4\sum a^2}}=1$
Đẳng thức $\Leftrightarrow a=b=c=d =\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 05-09-2011 - 21:10