Chủ đề này có 1205 trả lời

[Hank]

Cho hai số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy-4=x+y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=xy+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$.

Em đã thử như sau: $2xy-4=xy\geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow (\sqrt{xy}+1)(\sqrt{xy}-2)\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{xy} \geq 2 \Leftrightarrow xy \geq 4$

Tuy nhiên sau đó không biết phải xử lý thế nào với biểu thức $P$, mong được các thầy và các anh chị giúp đỡ thêm. Em cám ơn ạ.

[Cuongpa]

Cho hai số dương $x, y$ thỏa mãn $2xy-4=x+y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=xy+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}$.

Em đã thử như sau: $2xy-4=xy\geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow (\sqrt{xy}+1)(\sqrt{xy}-2)\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{xy} \geq 2 \Leftrightarrow xy \geq 4$

Tuy nhiên sau đó không biết phải xử lý thế nào với biểu thức $P$, mong được các thầy và các anh chị giúp đỡ thêm. Em cám ơn ạ.

Đã làm đến đó thì phải nghĩ cách biến đổi biểu thức lớn hơn một đại lượng nào đó mà chỉ chứa biến $xy$.

Riêng với bài này thì việc đưa về khá đơn giản vì đã có $\frac{1}{x^2}$ và $\frac{1}{y^2}$

Cụ thể là:

$P=xy+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq xy+\frac{2}{xy}$

Đến đây với điểm rơi $xy=4$ thì ta có:

$P=xy+\frac{16}{xy}-\frac{14}{xy}\geq 8-\frac{14}{4}=\frac{9}{2}$

Dấu $=$ của bài toán là $x=y=2$

[haccau]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) = 11$

Tìm GTNN của $P = (x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

[trinhhoangdung123456]

Các bài tập sẽ không khó và mức độ tăng dần theo mỗi bài
Bài 1:(THCS) Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm GTNN của : $P=\dfrac{a}{a^{2}+8bc}+\dfrac{b}{b^{2}+8ac}+\dfrac{c}{c^{2}+8ab}$
Bài 2:(THCS) Với $a,b,c >0$ . Tìm GTNN của :$ P=\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}$

Bài 3: (THPT) Cho $a,b,c \geq 0$.CMR: $\dfrac{b+c}{2a^{2}+bc}+\dfrac{a+c}{2b^{2}+ac}+\dfrac{a+b}{2c^{2}+ab}\geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Cho mình hỏi phần mềm gõ công thức toán học

[trinhhoangdung123456]

      Cho các số thực dương a, b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức :

               $ \frac{k}{a^{2}+y^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{8+2k}{(a+b)^{2}}$

[tenminhlakhoa]

1 bài rất hay: Cho x,y >0 thỏa x+y$\leq$1. Tìm max Q=$$\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tenminhlakhoa: 13-08-2017 - 19:31

[LeCong Quoc Huy 8a 2002]

cho a,b >0 thõa mãn a+b=1

CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$

[Nguyen Dang Khoa 17112003]

Em xin đóng góp 1 bài hay 

Cho a,b,c>0; a+b+c=abc

Tìm min:

A=$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(a^2+1)}}$

[nhuleynguyen]

cho a,b >0 thõa mãn a+b=1

CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\geq 9$

Ta có:

2\sqrt{ab}\leq a+b \Leftrightarrow 2\sqrt{ab}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{4}

 

(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}=\frac{ab+a+a+1}{ab}=\frac{ab+2}{ab}=1+\frac{2}{ab}\geq 1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=1+8=9

 (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhuleynguyen: 25-09-2017 - 14:29

[Thanhbone]

Bài này nữa ạ. Ai giúp vs

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhbone: 20-09-2017 - 20:31

[nhuleynguyen]

$A=(x^2-2014x)^2+4026x^2-8108364x+4054183.$

Với giá trị nào của x thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhuleynguyen: 04-10-2017 - 16:06

[yukitsutoshi3110]

Cho mình hỏi bài này làm thế nào:
Chứng minh rằng :1/căn(1+x^2)+1/căn(1+y^2)+1/căn(1+z^2)<=3/2. Biết x+y+z=xyz

[khaipro]

Cho a, b, c là các số thực dương và abc =1. chứng minh rằng: 

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

[hthi2723]

Cho a, b, c là các số thực dương và abc =1. chứng minh rằng: 

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\frac{a^{2}$\frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.\frac{1}{b}} = \frac{2a}{b};

Tuong tu: \frac{b^2}{c} + \frac{1}{c} \geq \frac{2b}{c};

\frac{c^2}{a} + \frac{1}{a} \geq \frac{2c}{a}

\rightarrow \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{2a}{b} \frac{2b}{c} + \frac{2c}{a} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

[khaipro]

$\frac{a^{2}$\frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.\frac{1}{b}} = \frac{2a}{b};

Tuong tu: \frac{b^2}{c} + \frac{1}{c} \geq \frac{2b}{c};

\frac{c^2}{a} + \frac{1}{a} \geq \frac{2c}{a}

\rightarrow \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{2a}{b} \frac{2b}{c} + \frac{2c}{a} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Cách làm này của bạn chưa đúng thì phải?

[honglien]

Tìm gtnn của P:

P=$\frac{x₁^{2}+x₂^{2}+...+x₂₀₁₅^{2}}{x₁(x₂+x₃+...+x₂₀₁₅)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi honglien: 10-11-2017 - 16:58

[honglien]

Cho các số dương a,b,c.Cmr:

$\sqrt{\frac{(a+b)^{3}}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{(b+c)^{3}}{8ab(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(c+a)^{3}}{8ca(4c+4a+b)}}\geq 1$

m.n giải giúp e ạ    

[kekkei]

Cho a, b, c là các số thực dương và abc =1. chứng minh rằng: 

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Từ điều kiện->$(a,b,c)\rightarrow (\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

Thay vào, ta cần chứng minh$\sum x^5y^4\geqslant \sum xy^4z^4$

 Theo AM-GM: $x^5y^4+4y^5z^4+16z^5x^4\geqslant 21xy^4z^4$

[kekkei]

Tìm gtnn của P:

P=$\frac{x₁^{2}+x₂^{2}+...+x₂₀₁₅^{2}}{x₁(x₂+x₃+...+x₂₀₁₅)}$

$\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^{2}=\sum_{i=2}^{2015}x_{i}^{2}+x_{1}^{2}=\sum_{i=2}^{2015}(x_{i}^{2}+\frac{x_{1}^{2}}{2014})\geqslant\frac{2}{\sqrt{2014}}\sum_{i=2}^{2015}\left | x_{1}x_{i}\right |\geqslant \frac{2}{\sqrt{2014}}\sum_{i=2}^{2015} x_{1}x_{i}=\frac{2}{\sqrt{2014}}x_{1}\sum_{i=2}^{2015}x_{i}$

 Do đó min P=$\frac{2}{\sqrt{2014}}$ 

[kekkei]

Cho mình hỏi bài này làm thế nào:
Chứng minh rằng :1/căn(1+x^2)+1/căn(1+y^2)+1/căn(1+z^2)<=3/2. Biết x+y+z=xyz

Từ điều kiện, ta có thể đặt $(x,y,z)\rightarrow (tan\alpha ,tan\beta ,tan\gamma )(\alpha +\beta +\gamma =\pi;\alpha ,\beta ,\gamma \in (0;\frac{\pi}{2}))$

Khi đó bài toán trở thành $cos\alpha +cos\beta +cos\gamma \leqslant \frac{3}{2}$

Dây là 1 bđt quen thuộc