Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm MAX của $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 nguyenminhtrai

nguyenminhtrai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Phúc.

Đã gửi 08-07-2009 - 18:48

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn:abc=1
Tìm MAX của $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-03-2012 - 17:53

KHÔNG CÓ GÌ LÀ KHÔNG THỂ ĐỐI VỚI MỖI CON NGƯỜI!!!!!!!!!

#2 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-11-2012 - 18:00

Không biết bài này có sự nhầm lẫn gì không. Các biến dương, bình đẳng, nếu xảy ra khi $a=b=c$ thì $P=\frac{3}{2}$
Mà ta lại có bài toán quen thuộc sau:
$P=\frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+\frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )}+\frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}\geq \frac{3}{2}$.

Chọn $a=k$, $b=c=\frac{1}{\sqrt{k}}$ $\left ( k>0 \right )$.
Khi đó $P=\frac{1}{k^{2}\sqrt{k}}+\frac{2k^{2}}{k\sqrt{k}+1}$.
Cho $k\rightarrow 0$ ta thấy $P\rightarrow +\infty$.
Do đó biểu thức không có giá trị lớn nhất.

#3 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 23-11-2012 - 19:09

Chọn $a=k$, $b=c=\frac{1}{\sqrt{k}}$ $\left ( k>0 \right )$.
Khi đó $P=\frac{1}{k^{2}\sqrt{k}}+\frac{2k^{2}}{k\sqrt{k}+1}$.
Cho $k\rightarrow 0$ ta thấy $P\rightarrow +\infty$.
Do đó biểu thức không có giá trị lớn nhất.

Nhưng a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác mà, chọn như vậy chắc gì đã thỏa mãn bđt tam giác ?

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 23-11-2012 - 19:34

Nhưng a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác mà, chọn như vậy chắc gì đã thỏa mãn bđt tam giác ?

Nó vẫn thỏa bạn à.... b,c tiến tới rất lớn, a tiến tới rất nhỏ :')
^^~

#5 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-11-2012 - 19:38

Bài này sai đề rồi :-"
Chọn như anh lehoanghiep chắc chắn $a,b,c$ thỏa là 3 cạnh tam giác, nói chung là đề sai :")

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#6 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 23-11-2012 - 20:31

Do a,b,c là ba cạnh tam giác nên từ abc=1 suy ra $a\leq 1, b\leq 1, c\leq 1$
Theo Cauchy và giả thiết abc=1 ta có
$P\leq \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}+\frac{a^{3}c^{3}}{a+c}+\frac{a^{3}b^{3}}{a+b}\leq\frac{(b+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+b)^{5}}{2^{6}}\leq \frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}\Leftrightarrow P\leq \frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Do đó Max P=$\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1

Điều quan trọng ở đây là abc=1 và a, b, c là 3 cạnh của tam giác

#7 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-11-2012 - 20:41

Do a,b,c là ba cạnh tam giác nên từ abc=1 suy ra $a\leq 1, b\leq 1, c\leq 1$

Cái này là cho $a=b=c=1$ rồi chứ chứng minh gì nữa.

#8 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 23-11-2012 - 20:45

không phải cho, bạn thử tìm xem 3 cạnh tam giác có tích bằng 1 thì cạnh lớn hơn 1 hay không.

#9 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 23-11-2012 - 20:51

Sau khi nghĩ lại, có vẻ đầu bài sai thật (ăn cắp ý tưởng anh lehoanghiep 1 tí)
giả sử: $0 < m < 1, a=m^2, b = \frac{1}{m}$
$$
a=m^2 < \frac{2}{m} = b + c,
b = \frac 1 m < \frac 1 m + m^2 = a + c,
c = \frac 1 m < \frac 1 m + m^2 = a + b
$$
=> thỏa mãn bđt tam giác
$$\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^{2}b} > \frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c} = \frac 1 {a^3(b +c)} = \frac 1 {2m^5}$$
$m$ càng nhỏ thì $P$ càng lớn => $m = 0,(0)1$ (viết là càng nhỏ => càng lớn thì không đúng lắm, chuẩn ra là với giá trị m nhỏ vô cùng ta tìm được P với giá trị lớn vô cùng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 23-11-2012 - 21:09

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#10 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-11-2012 - 20:52

không phải cho, bạn thử tìm xem 3 cạnh tam giác có tích bằng 1 thì cạnh lớn hơn 1 hay không.

Thế bộ $(a;b;c)=\left(\frac{3}{2};\frac{2}{3};1 \right)$ thì sao nhỉ :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 23-11-2012 - 20:54

Sau khi nghĩ lại, có vẻ đầu bài sai thật
giả sử: $0 < m < 1, a=m^2, b = \frac{1}{m}$
$$
a=m^2 \le \frac{2}{m} = b + c
b = \frac 1 m \le \frac 1 m + m^2 = a + c
c = \frac 1 m \le \frac 1 m + m^2 = a + b
$$

không thể giả sử như vậy được

Thế bộ $(a;b;c)=\left(\frac{3}{2};\frac{2}{3};1 \right)$ thì sao nhỉ :)

nhưng 3/2+1< 2/3

#12 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 23-11-2012 - 20:57

không thể giả sử như vậy được

Why ?$abc = 1$ đúng luôn, bất đẳng thức tam giác cũng đúng luôn. khi $a=b=c=1$ thì P min chứ không max
bên trên bạn viết $3/2+1< 2/3$ là thế nào thế :ohmy:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 23-11-2012 - 21:00

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#13 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-11-2012 - 21:03

không thể giả sử như vậy được

Mình mong là bạn đọc thật kỹ bài post của ilovelife trước khi đưa những nhận xét kiểu này.Bạn ấy đang đưa ra 1 phản ví dụ cho bài này đó,trong đó có giải thích luôn tại sao đề bài sai.:)
P/s:Bạn còn post bài kiểu này là mình xóa luôn,không báo trước.Thân.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 24-11-2012 - 06:29

Giả sử P đạt giá trị lớn nhất
$\Rightarrow P\neq +\propto, a=p, b=c=q, pq^{2}=1, 2q>p>0$
$\Rightarrow P=\frac{q^{3}}{2pq^{2}}+\frac{2pq^{2}}{q^{3(p+q)}}=\frac{q^{3}}{2}+\frac{2}{q^{4}+q}, Do \lim_{q \to +\infty }\frac{q^{3}}{2}=+\propto, \lim_{q \to +\infty }\frac{2}{q^{4}+q}=0 \Rightarrow \lim_{q \to +\infty }=+\propto$
Trái giả thuyết
Vậy P không đạt giá trị lớn nhất

Giả sử P đạt giá trị lớn nhất
$\Rightarrow P\neq +\propto, a=p, b=c=q, pq^{2}=1, 2q>p>0$
$\Rightarrow P=\frac{q^{3}}{2pq^{2}}+\frac{2pq^{2}}{q^{3(p+q)}}=\frac{q^{3}}{2}+\frac{2}{q^{4}+q}, Do \lim_{q \to +\infty }\frac{q^{3}}{2}=+\propto, \lim_{q \to +\infty }\frac{2}{q^{4}+q}=0 \Rightarrow \lim_{q \to +\infty }P=+\propto$
Trái giả thuyết
Vậy P không đạt giá trị lớn nhất



#15 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-11-2012 - 12:48

Chấm bài
Primary: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#16 dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Văn học

Đã gửi 25-11-2012 - 22:55

Do a,b,c là ba cạnh tam giác nên từ abc=1 suy ra $a\leq 1, b\leq 1, c\leq 1$
Theo Cauchy và giả thiết abc=1 ta có
$P\leq \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}+\frac{a^{3}c^{3}}{a+c}+\frac{a^{3}b^{3}}{a+b}\leq\frac{(b+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+b)^{5}}{2^{6}}\leq \frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}\Leftrightarrow P\leq \frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Do đó Max P=$\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1

Điều quan trọng ở đây là abc=1 và a, b, c là 3 cạnh của tam giác


giả sử như vậy thì abc<=1 ??? dấu = xảy ra luôn rồi còn gì

#17 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 26-11-2012 - 08:03

giả sử như vậy thì abc<=1 ??? dấu = xảy ra luôn rồi còn gì

Tôi giải lại rồi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh