3/ $x^4-20x^2+100-y^4+28y^2-196=11
<=> (x^2-10)^2-(y^2-14)^2=11
<=> (x^2-10-y^2+14)(x^2-10+y^2-14)=11
<=> (x^2-y^2+4)(x^2+y^2-24)=11$
Xét ước của 11 và giải hệ ta tìm được bộ nghiệm $ (x,y)=( \pm 4; \pm 3); ( \pm 2; \pm 3)$
4/$2x^2+3y^2=z^2$ (1)
Do $2x^2+3y^2 \equiv 0;2 (mod 3); z^2 \equiv 0;1 (mod 3)$ nên x và z cùng chia hết cho 3.
Đặt $x=3x_1; z=3z_1$.
PT trở thành $2.9.x_1^2+3y^2=9.z_1^2 <=> 6x_1^2+y^2=3z_1^2$
Từ đó có y chia hết cho 3. Đặt $y=3y_1$
PT (1) trở thành $2.9.x_1^2+9y_1^2=9z_1^2
<=> 2x_1^2+y_1^2=z_1^2$
Từ đó suy ra $(\dfrac{x}{3}; \dfrac{y}{3}; \dfrac{z}{3})$ cũng là bộ nghiệm của pt.
Cứ tiếp tục như vậy ta có $(\dfrac{x}{3^k};\dfrac{y}{3^k}; \dfrac{z}{3^k})$ (k là một số tự nhiên) cũng là bộ nghiệm của pt.
Điều này chỉ xảy ra khi x=y=z=0.
5) Chú ý rằng $a^2 \equiv 0;1;2;4 (mod 7)$
Do đó $x^2+y^2+z^2$ chia hết cho 7 khi x,y,z cùng chia hết cho 7 hoặc $x^2;y^2;z^2$ lần lượt nhận các số dư khác nhau khi chia cho 7.
Tức là có một số chia 7 dư 1 hoặc 6; một số chia 7 dư 2 hoặc 5; một số chia 7 dư 3 hoặc 4.
Kết luận: PT có vô số nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pth_tdn: 14-07-2009 - 16:37