Cho em hỏi bài này: Chứng minh mọi đa thức đều có thể viết được dưới dạng hiệu của hai đa thức đồng biến
Một bài hay...
Bắt đầu bởi ilovemath1809, 16-08-2009 - 11:01
#2
Đã gửi 18-08-2009 - 12:30
Mashimaru
-
- Hiệp sỹ
-
- 264 Bài viết
Thượng sĩ
Anh ilovemath1809 có thể giải thích rõ đa thức đồng biến là gì không ạ? Nếu ý anh đa thức đồng biến là đa thức tăng trên $\mathbb{R}$ thì có thể xây dựng như sau ạ:
Xét đa thức $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử $a_n > 0$. Có hai trường hợp:
+ Nếu $n$ lẻ, ta xây dựng hai đa thức như sau: $A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + (a_1+A)x + a_0$ và $B(x) = Ax$, khi đó rõ ràng $P(x) = A(x) - B(x)$. Hơn nữa $B'(x) = A$ còn $A'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + ... + 2a_2x + a_1+A$. Vì $n$ lẻ nên $\deg{A'}=n-1$ chẵn, hơn nữa ta đã giả sử $a_n >0$ nên tồn tại $\inf{A'(x)}=a$. Chọn $A > |a|$ thì $A'(x) > 0,B'(x) > 0, \forall x\in\mathbb{R}$. Vậy $A(x),B(x)$ là cặp đa thức thỏa điều kiện.
+ Nếu $n$ chẵn, ta xét $A(x) = a_{n+1}x^{n+1} + a_nx^n + ... + (a_1+A)x + a_0$ và $B(x) = a_{n+1}x^{n+1} + Ax$ trong đó $a_{n+1}>0$. Khi đó rõ ràng $P(x) = A(x) - B(x)$, hơn nữa $\deg{A},\deg{B}$ lẻ nên theo trường hợp trên, $A(x)$ và $B(x)$ có thể biểu diễn thành hiệu của hai đa thức đồng biến: $A(x) = A_1(x) - A_2(x),B(x) = B_1(x) - B_2(x)$. Lúc này ta biểu diễn $P(x) = (A_1(x) + B_2(x)) - (A_2(x) + B_1(x))$, với chú ý rằng tổng của hai đa thức đồng biến cũng là một đa thức đồng biến.
Bài toán được giải quyết.
Xét đa thức $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử $a_n > 0$. Có hai trường hợp:
+ Nếu $n$ lẻ, ta xây dựng hai đa thức như sau: $A(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + (a_1+A)x + a_0$ và $B(x) = Ax$, khi đó rõ ràng $P(x) = A(x) - B(x)$. Hơn nữa $B'(x) = A$ còn $A'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + ... + 2a_2x + a_1+A$. Vì $n$ lẻ nên $\deg{A'}=n-1$ chẵn, hơn nữa ta đã giả sử $a_n >0$ nên tồn tại $\inf{A'(x)}=a$. Chọn $A > |a|$ thì $A'(x) > 0,B'(x) > 0, \forall x\in\mathbb{R}$. Vậy $A(x),B(x)$ là cặp đa thức thỏa điều kiện.
+ Nếu $n$ chẵn, ta xét $A(x) = a_{n+1}x^{n+1} + a_nx^n + ... + (a_1+A)x + a_0$ và $B(x) = a_{n+1}x^{n+1} + Ax$ trong đó $a_{n+1}>0$. Khi đó rõ ràng $P(x) = A(x) - B(x)$, hơn nữa $\deg{A},\deg{B}$ lẻ nên theo trường hợp trên, $A(x)$ và $B(x)$ có thể biểu diễn thành hiệu của hai đa thức đồng biến: $A(x) = A_1(x) - A_2(x),B(x) = B_1(x) - B_2(x)$. Lúc này ta biểu diễn $P(x) = (A_1(x) + B_2(x)) - (A_2(x) + B_1(x))$, với chú ý rằng tổng của hai đa thức đồng biến cũng là một đa thức đồng biến.
Bài toán được giải quyết.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 18-08-2009 - 12:33
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.
#3
Đã gửi 18-08-2009 - 21:34
ilovemath1809
-
- Thành viên
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
Oh, cám ơn bạn Hiếu nhiều (mình cũng bằng tuổi bạn hà ^^). Bài này trg xấp bt đơn điệu của thầy Thái (mình học bên TC2), mình hỏi thầy nhiều lần rồi mà thầy chưa rảnh trả lời nên đành lên đây, mình cũng ko biết định nghĩa đa thức đồng biến là thế nào (tính hỏi thầy luôn mà 
) nhưng chắc cũng tương tự như đ/n hàm đồng biến.
) nhưng chắc cũng tương tự như đ/n hàm đồng biến.
#4
Đã gửi 18-08-2009 - 23:52
Mashimaru
-
- Hiệp sỹ
-
- 264 Bài viết
Thượng sĩ
Ừ nhỉ, tớ không để ý profile của cậu bên trái, hóa ra là đồng hương với nhau cả ^^. Tớ cũng vừa hỏi thầy tớ rồi, có lẽ đa thức đồng biến hiểu như vậy thôi. ilovemath1809 học Lê Hồng Phong à?
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.
#5
Đã gửi 19-08-2009 - 21:43
ilovemath1809
-
- Thành viên
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
À, mình học trường Võ Thị Sáu.Ừ nhỉ, tớ không để ý profile của cậu bên trái, hóa ra là đồng hương với nhau cả ^^. Tớ cũng vừa hỏi thầy tớ rồi, có lẽ đa thức đồng biến hiểu như vậy thôi. ilovemath1809 học Lê Hồng Phong à?
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
