Đến nội dung


Hình ảnh

$ \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \le 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 nguyen_ct

nguyen_ct

    Đại Tướng (Nguyên Soái) :)

  • Thành viên
  • 729 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NBK (hn city) :H
  • Sở thích:http://batdongsan.com.vn/phong-thuy-toan-canh/phong-thuy-treo-tranh-trong-gia-dinh-ar37947
    http://megafun.vn/cuoc-song/tu-vi/phong-thuy/201107/Treo-tranh-Phong-thuy-nho-phai-chon-huong-150550/
    http://www.tranhcat.org/tu-van-tranh-cat/41-chon-va-treo-tranh-theo-phong-thuy.html
    http://www.blogphongthuy.com/?p=4632

Đã gửi 27-08-2009 - 12:02

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng
$$ \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \le 1$$


AT: yaaaaaaaaa! Tất cả là tương đối
FM:đúng vậy tất cả là tương đối với thời gian là hằng số bất biến
FN: thời gian được Chúa tạo ra và chia làm 2 chiều 1 chiều hướng về hiện tại 1 chiều về tương lai ,với mốc là hiện tại
AT:thế trước khi Chúa tạo ra thời gian thì Chúa làm gì ?
FM: Chúa tạo ra địa ngục cho những tên nào hỏi câu đó !!!! :D

#2 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 27-04-2013 - 16:22

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng
$$ \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \le 1$$

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $a^{3}+2=a^{3}+1+1\geq 3a$

 

                        Tương tự      $b^{3}+2\geq 3b,     c^{3}+2\geq 3c$

 

Do đó: $\frac{a}{a^{3}+2}+\frac{b}{b^{3}+2}+\frac{c}{c^{3}+2}\leq \frac{a}{3a}+\frac{b}{3b}+\frac{c}{3c}=1$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 27-04-2013 - 16:41


#3 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 27-04-2013 - 16:40

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $a^{3}+2=a^{3}+1+1\geq 3a$

 

                                            $b^{3}+2\geq 3b, c^{3}+2\geq 3c$

 

Do đó: $\frac{a}{a^{3}+2}+\frac{b}{b^{3}+2}+\frac{c}{c^{3}+2}\leq \frac{a}{3a}+\frac{b}{3b}+\frac{c}{3c}=1$

 

Như vậy thì giả thiết $a+b+c=3$ là thừa ak bạn???



#4 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 27-04-2013 - 17:02

Như vậy thì giả thiết $a+b+c=3$ là thừa ak bạn???

Chắc để cho nó thoả mãn điều kiện ,hizz :( Có lẽ nên sử thành a+b+c là 1 số khác 3 để tăng độ khó cho bài toán


TLongHV


#5 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 27-04-2013 - 17:27

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng
$$ \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \le 1$$

 

Lời giải của bạn kia đúng rồi, mình làm tổng quát luôn bài này cho máu:

 

 

Đề bài: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3t$ với $t$ thỏa mãn $t=1$ hoặc $ t \in \left( 0, \sqrt[3]{-20+12\sqrt{3}}\right)$
Chứng minh rằng
$$P= \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \leq \frac{3t}{t^3+2}$$
 
_______________________________________
Bài giải:
Trước tiên, ta thấy:
$${\frac {a}{{a}^{3}+2}}+\,{\frac {2 \left( t-1 \right)  \left( {t}^{2}+t+1 \right) a}{ \left( {t}^{3}+2 \right) ^{2}}}-\,{\frac {3{t}^{4}}{ \left( {t}^{3}+2 \right) ^{2}}}={\frac { \left(  \left( 2\,{t}^{3}-2 \right) {a}^{2}+ \left( {t}^{4}-4\,t \right) a-6\,{t}^{2} \right)  \left( a-t \right) ^{2}}{ \left( {a}^{3}+2 \right)  \left( {t}^{3}+2 \right) ^{2}}}$$
Do nếu $t \in \left( 0, \sqrt[3]{-20+12\sqrt{3}}\right)$ thì $$\left( 2\,{t}^{3}-2 \right) {a}^{2}+ \left( {t}^{4}-4\,t \right) a-6\,{t}^{2}>0$$ (dấu của tam thức bậc 2)
Nếu $t=1$ thì $$\left( 2\,{t}^{3}-2 \right) {a}^{2}+ \left( {t}^{4}-4\,t \right) a-6\,{t}^{2}=-3a-6<0$$
Tóm lại là $${\frac {a}{{a}^{3}+2}}+\,{\frac {2 \left( t-1 \right)  \left( {t}^{2}+t+1 \right) a}{ \left( {t}^{3}+2 \right) ^{2}}}-3\,{\frac {{t}^{4}}{ \left( {t}^{3}+2 \right) ^{2}}} \leq 0$$ với $t$ thỏa mãn $t=1$ hoặc $ t \in \left( 0, \sqrt[3]{-20+12\sqrt{3}}\right)$
Từ đó chứng minh tương tự với $b,c$ ta được:
$$P+{\frac {2 \left( t-1 \right)  \left( {t}^{2}+t+1 \right) }{ \left( {t}^{3}+2 \right) ^{2}}} (a+b+c)-\frac{9t^4}{(t^3+2)^2} \leq 0$$
Suy ra $P \leq \frac{t}{t^3+2}$

 

 


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 27-04-2013 - 17:35

Còn một hướng tổng quát nữa là như sau:
 
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm max của:
$$P= \dfrac {a}{a^3+k} +\dfrac{b}{b^3+k}+\dfrac{c}{c^3+k} $$
với $k >\frac{5+3\sqrt{3}}{4}$
 
Cũng tương tự bài trên, ta có:
$${\frac {a}{{a}^{3}+k}}-{\frac { \left( k-2 \right) a}{ \left( k+1 \right) ^{2}}}-\frac{3}{\, \left( k+1 \right) ^{2}}=-{\frac { \left( a-1 \right) ^{2} \left(  \left( k-2 \right) {a}^{2}+ \left( 2\,k-1 \right) a+3\,k \right) }{ \left( {a}^{3}+k \right)  \left( k+1 \right) ^{2}}}$$
Do $k >\frac{5+3\sqrt{3}}{4}$ nên $$\left( k-2 \right) {a}^{2}+ \left( 2\,k-1 \right) a+3\,k>0$$
(dấu của tam thức bậc 2)
Suy ra $$P -\frac{k-2}{(k+1)^2} (a+b+c)-\frac{9}{(k+1)^2} \leq 0$$
Suy ra $P \leq \frac{3}{k+1}$
 

 


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#7 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 27-04-2013 - 23:22

Thêm một dạng tổng quát nữa:
 
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm max của:
$$P= \dfrac {a}{a^n+2} +\dfrac{b}{b^n+2}+\dfrac{c}{c^n+2} $$
Với $n$ thỏa mãn $-\frac{3}{2} \leq n \leq 3$
 
____________________________________________
Xét hàm sau:
$$f(a)=\frac{a}{a^n+2}-\frac{3-n}{9} a-\frac{n}{9}$$
$$f'(a)=\,{\frac { \left( {a}^{n}-1 \right)  \left( {a}^{n}n-3\,{a}^{n}-4\,n-6 \right) }{9 \left( {a}^{n}+2 \right) ^{2}}}$$
Do $n$ thỏa mãn $-\frac{3}{2} \leq n \leq 3$ nên ${a}^{n}n-3\,{a}^{n}-4\,n-6<0$
Vậy $f'(a)=0$ khi và chỉ khi $a=1$
Do đó $f(a) \leq f(1)=0$
Vậy $f(a) \leq 0$
Suy ra $f(a)+f(b)+f(c) \leq 0$
Suy ra $P \leq 1$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#8 hoangvtvpvn

hoangvtvpvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1 THPT chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Inequality,geometry

Đã gửi 28-04-2013 - 12:22

Sửa đề thành $\sum \frac{a}{b^{3}+2}$$\leq$1 ta được 1 bài toán khác


Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng


#9 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 17-05-2013 - 21:43

mình thấy từ 1 bài rất đơn giản thôi nthoangcuto lại chế thành rất phức tạp rồi


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#10 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2013 - 15:52

Chấm bài

trauvang97: 10 điểm

 

nthoangcute: 15 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh