5 replies to this topic

[tho_con_73]

Cho $\Delta ABC$ không tù. CMR: $m_{a} m_{b} m_{c} \leq \dfrac{1}{8} (a+b+c)^{2} R$

Edited by inhtoan, 02-09-2009 - 23:12.

[phuongpro]

Cho $\Delta ABC$ không tù. CMR: $m_{a} m_{b} m_{c} \leq \dfrac{1}{8} (a+b+c)^{2} R$

Trước hết ta chứng minh: $m_{a}+ m_{b}+ m_{c} \leq \dfrac{9R}{2} (1)$
Ta có $m_{a} ^{2}+ m_{b} ^{2} + m_{c} ^{2} = \dfrac{3( a^{2}+b^{2}+c^{2}) }{4}$
Ta có $ a^{2}+b^{2}+c^{2} =4R^{2} ( sinA^{2} + sinB^{2} + sinC^{2} ) =4R^{2}[2+cos(A-B)cosC- cosC^{2}]$
$=4R^{2}{ \dfrac{9}{4}-[cosC- \dfrac{1}{2}cos(A-B)]^{2}- \dfrac{1}{4} sin(A-B)^{2}} \leq 4R^{2} \dfrac{9}{4}=9R^{2}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ ABC đều.
$\Rightarrow$ Ta chứng minh được (1)
Ta lại có $m_{a} m_{b} m_{c} \leq \dfrac{(m_{a}+ m_{b}+ m_{c}) ^{3} }{27} \leq \dfrac{729R^{3} }{27.8}= \dfrac{27R^{3} }{8}$
Mặt khác:$(a+b+c)^{2}= 4R^{2} (sinA+sinB+sinC)^{2}$
Mà $sinA+sinB+sinC \leq \dfrac{3 \sqrt{3} }{2}$(Cái này dùng công thức cộng CM nha,dễ thôi)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bạn học gõ latex đi nha

Edited by phuongpro, 03-09-2009 - 15:27.

[TanThi1]

Theo ban chứng minh thì
$a^2 + b^2 + c^2 \le 9R^2$
$\Leftrightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 \le \dfrac{{27R^2 }}{4}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số $m_a^2 + R^2$ $m_b^2 + R^2$ $m_c^2 + R^2$
Ta có:$m_a^2 + R^2 \ge 2m & _a R$
$m_b^2 + R^2 \ge 2m & _b R$
$m_c^2 + R^2 \ge 2m & _c R$
Suy ra $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 + 3R^2 \ge 2R(m_a + m_b + m_c )$
mà $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 + 3R^2 \le \dfrac{{27R^2 }}{4} + 3R^2 = \dfrac{{39R^2 }}{4}$
Suy ra $\dfrac{{39R^2 }}{4} \ge 2R(m_a + m_b + m_c ) \Leftrightarrow \dfrac{{39R}}{8} \ge m_a + m_b + m_c$
Vậy là sao thế

Edited by TanThi1, 05-09-2009 - 10:01.

[TanThi1]

Xin lỗi hôm qua tôi nhầm khi sử dùng Côsi nó cho ra kết quả "đúng nhưng không trúng" phải dùng Bunhiacốpxki thi nó cho ra đúng hơn
Áp dụng cho $(m_a ;m_b ;m_c )\,\,\,(1;1;1)$
Từ đó ta suy ra được $m_a + m_b + m_c \le \dfrac{{9R}}{2}$

[TanThi1]

Cho $\Delta ABC$ không tù. CMR: $m_{a} m_{b} m_{c} \leq \dfrac{1}{8} (a+b+c)^{2} R$

Sao chúng ta chưa dùng dữ kiện $\Delta ABC$ không tù

Edited by TanThi1, 06-09-2009 - 18:03.

[10toan2]

Sao chúng ta chưa dùng dữ kiện $\Delta ABC$ không tù

loi giai o tren sai roi.ban tim loi giai khac di