Chủ đề này có 2 trả lời

[AG-TNT]

Đọc trong cuốn chuyên đề dãy số mình thấy nói Bernoulli và các nhà toán học TK18 dùng sai phân để đưa ra công thức tính tổng:
S(k,n)= 1^{k} + 2^{k} +...+ n^{k}
Lâu nay mình tính mãi mà vẫn chưa tìm ra, bạn nào biết chỉ cho mình với?

[thuytien92]

Mình đọc được một cách giải trong cuôn giải tích nâng cao:

$ (n+1)^{k+1} = C_{k+1}^0 n^{k+1} + C_{k+1}^1 n^k +... +1 $
$ (n)^{k+1}= C_{k+1}^0 (n-1)^{k+1} + C_{k+1}^1 (n-1)^k +... +1 $
....
$ 2^n = C_{k+1}^0 + C_{k+1}^1+...+1 $
tong các hệ thức trên lai theo vế với vế ta có:
$ S_{k+1} -1 +(n+1)^{k+1} = S_{k+1} + C_{k+1}^1 S_k+ .. + nS_1 + n $
triêtj tiêu S_{k+1} ở 2 vế rùi biến đổi linh tinh ta sẽ có 1 hệ thức truy hồi (hơi dã man) .
ngoài ra bạn có tìm thêm chuyên đề hội giảng (ebook) của nguyễn tất thu để đọc thêm (máy mình mới cài lại nên ko có).

[AG-TNT]

Cảm ơn bạn, nhưng mình cần cách tính theo sai phân cơ.
Ta tìm đa thức f(k,n) sao cho n^{k}=f(k,n+1) - f(k,n), từ đó có S(k,n)=f(k,n+1) - f(k,1).
Họ nói dùng phương pháp hệ số bất định nhưng mình cũng chẳng thấy nó giúp được gì cả, chỉ tính được vài hệ số ban đầu rồi tịt ngụm.
còn bạn nói ebook của Nguyễn Tất Thu thì mình tìm rồi mà chỉ thấy nói về bất đẳng thức thôi à. Chẳng được gì hết