Chủ đề này có 3 trả lời

[inhtoan]

Giải phương trình:

$1)2\sqrt{3\sin{x}}=\dfrac{3\tan{x}}{2\sqrt{\sin{x}}-1}-\sqrt{3} $

$2) 3\sqrt{\tan{x}+1}.(\sin{x}+2\cos{x}) = 5(\sin{x}+3\cos{x}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 29-09-2009 - 11:32

[minhhung_2811]

$2\sqrt {3\sin x} = \dfrac{{3\tan x}}{{2\sqrt {\sin x} - 1}} - \sqrt 3$

Điều kiện: $\sin x \ne \dfrac{1}{4};\cos x \ne 0;\sin x \ge 0$

Khi đó phương trình trở thành:

$4\sqrt 3 \sin x - 2\sqrt {3\sin x} = 3\tan x - 2\sqrt {3\sin x} + \sqrt 3$

$\Leftrightarrow 4\sqrt 3 \sin x - \dfrac{{3\sin x}}{{\cos x}} - \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow 4\sqrt 3 \sin x\cos x - 3\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x$

$\Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x = \pi - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3} \\ \end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện, ta có được nghiện của phương trình là:

$x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$ hay $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}$ với $x \ne \dfrac{{29\pi }}{{18}} + l2\pi$

($k$, $l$ nguyên)

[minhhung_2811]

$3\sqrt {\tan x + 1} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

Điều kiện: $\cos x \ne 0;\tan x \ge - 1$

Khi đó, phương trình trở thành:

$3\sqrt {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

$\Leftrightarrow 3\sqrt {\sin x + \cos x} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\sqrt {\cos x} .\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

Đặt $a = \sqrt {\sin x + \cos x}$ và $b = \sqrt {\cos x}$, ta có phương trình:

$3a\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 5b\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)$

$\Leftrightarrow 3{a^3} - 5{a^2}b + 3a{b^2} - 10{b^3} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)\left( {3{a^2} + ab + 5{b^2}} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$3{a^2} + ab + 5{b^2} = 0$

$\Leftrightarrow 2{a^2} + {\left( {a + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4}{b^2} = 0$

$\Leftrightarrow a = b = 0$

Khi đó, ta có:

$\sqrt {\sin x + \cos x} = \sqrt {\cos x} = 0$

$\Leftrightarrow \sin x = \cos x = 0$

Điều này vô lí ! Vì ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$

Trường hợp 2:

$a = 2b$

Khi đó. ta có:

$\sqrt {\sin x + \cos x} = 2\sqrt {\cos x}$

$\Leftrightarrow \sin x + \cos x = 4\cos x$

$\Leftrightarrow \sin x = 3\cos x$

Mà ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ nên:

$10{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{1}{5}$

$\Leftrightarrow 1 + \cos 2x = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \cos 2x = - \dfrac{4}{5}$

$\Leftrightarrow 2x = \pm \arccos \left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + k\pi$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

$x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + k\pi$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 03-05-2010 - 23:55

[inhtoan]

$3\sqrt {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

$\Leftrightarrow 3\sqrt {\sin x + \cos x} .\left( {\sin x + 2\cos x} \right) = 5\sqrt {\cos x} .\left( {\sin x + 3\cos x} \right)$

Chỗ này chưa chặt chẽ lắm vì chỉ với đk $tanx\geq -1$ thì chưa khẳng định được là $cosx \geq 0 $ nên không thể nhân chéo như trên được .