Chủ đề này có 4 trả lời

[pa ra bol]

Cho hàm f:[0;1] đến R có đạo hàm trên [0;1] và f(0)=f'(1)=f'(0)=0
CMR c (0;1) để f©=cf'©

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pa ra bol: 04-10-2009 - 17:39

[hongthaidhv]

Cho hàm f:[0;1] đến R có đạo hàm trên [0;1] và f(0)=f'(1)=f'(0)=0
CMR $\exists c \in (0;1)$ để $f( C )=cf'( C )$

Ta có thể giải bài toán tổng quát cho khoảng [a;b] bất kì.
Ta có kết quả sau:
$\exists t \in [a;b] \dfrac{af(b)-bf(a)}{b-a}= f( C )-cf'( C )$
Thật vậy: Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$ và $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.
Áp dụng định lí Cauchy ta có
$\dfrac{\dfrac{af(b)-b(a)}{ab}}{\dfrac{a-b}{ab}} = \dfrac{\dfrac{cf'( C )-f( C )}{c^2}}{\dfrac{-1}{c^2}}$ => đpcm

----------------------------------------------------------
Định lí Cauchy: Cho hàm $f$ và $g$ liên tục trên $[a;b]$ và có đạo hàm trên $(a;b)$ khi đó tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho
$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'( C )}{g'( C )}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 05-10-2009 - 18:18

[huy_k49dhv]

Ta có thể giải bài toán tổng quát cho khoảng [a;b] bất kì.
Ta có kết quả sau:
$\exists t \in [a;b] \dfrac{af(b)-bf(a)}{b-a}= f( C )-cf'( C )$
Thật vậy: Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$ và $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$.
Áp dụng định lí Cauchy ta có
$\dfrac{\dfrac{af(b)-b(a)}{ab}}{\dfrac{a-b}{ab}} = \dfrac{\dfrac{cf'( C )-f( C )}{c^2}}{\dfrac{-1}{c^2}}$ => đpcm

----------------------------------------------------------
Định lí Cauchy: Cho hàm $f$ và $g$ liên tục trên $[a;b]$ và có đạo hàm trên $(a;b)$ khi đó tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho
$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'( C )}{g'( C )}$

bổ đề trên chỉ sử dụng được cho b>a>0 thôi GS Thái ạ ! vì nếu x=0 thì làm gì có 1/x hay f(x)/x được đâu!
em định sử dụng bổ đề này nhưng với đoạn [0;1] thì có lẽ ko được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy_k49dhv: 06-10-2009 - 19:59

[hongthaidhv]

bổ đề trên chỉ sử dụng được cho b>a>0 thôi GS Thái ạ ! vì nếu x=0 thì làm gì có 1/x hay f(x)/x được đâu!
em định sử dụng bổ đề này nhưng với đoạn [0;1] thì có lẽ ko được

uh, thanks chú nhiều nha. Khóa các chú thầy Hưng dạy nhiệt tình quá nên có lẽ đc học nhiều, hì hì, khóa anh...có ai dạy cho đâu, toàn mò mẫm nên có lúc vớt nhần bùn tưởng là ...vàng . Thôi, không giải cách này ta giải cách khác vậy:
Xét hàm số $g(x)= \dfrac{f(x)}{e^{x}}$. Sau đó áp dụng Lagrange là ok.
-----------------
P/s: Bài của chú anh giải rồi đó

[pa ra bol]

Cách giải này vẫn chưa ổn lắm đâu anh Thái à
Em dùng Lagrange cũng chỉ được f©=f'© thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pa ra bol: 23-10-2009 - 22:36