Chủ đề này có 1 trả lời

[viendanbac_tvh]

Cho day (Xn) xac dinh:X(k)=1/2!+2/3!+...+k/(k+1)! Tinh lim cua can bac n cua(x(1)^n+x(2)^n+...+x(2003)^n).

[thuytien92]

Phù tìm mãi mới thấy lời giải trong cuốn Một số bài toán về dãy số trong các đề thì OLYMPIC 30-4 của nhà xuất bản giáo duc.
Vì $ x_{k+1}-x_{k}=\dfrac{k+1}{(k+2)!} > 0 \forall k \in N => x_{k+1}>x_{k} > 0 \forall k \in N $
$ => x_{2003}^n < x_{1}^n +x_{2}^n +...+ x_{2003}^n < 2003.x_{2003}^{n}$
$ => x_{2003}^n < \sqrt[n]{x_{1}^n +x_{2}^n +...+ x_{2003}^n } $ $< \sqrt[n]{2003}.x_{2003}^{n}$
mặt khác ta có :
$ \dfrac{k}{(k+1)!}= \dfrac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}$
$ => x_k = (1-\dfrac{1}{2!} ) + (\dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + . . . + ( \dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!})$
$ = 1 -\dfrac{1}{(k+1)!}$
$ => x_{2003} = 1 -\dfrac{1}{2004!}$
vậy ta được

$ 1 -\dfrac{1}{2004!} < \sqrt[n]{x_{1}^n +x_{2}^n +...+ x_{2003}^n }< \sqrt[n]{2003}( 1 -\dfrac{1}{2004!})$
nhưng vì
$ lim_{n ->\infty} ( 1 -\dfrac{1}{2004!})=lim_{n ->\infty}\sqrt[n]{2003}( 1 -\dfrac{1}{2004!})=1 -\dfrac{1}{2004!}$
$ => lim_{n ->\infty} \sqrt[n]{x_{1}^n +x_{2}^n +...+ x_{2003}^n }=1 -\dfrac{1}{2004!}$