Chủ đề này có 5 trả lời

[supermember]

Bài Toán này chưa có lời giải bằng Đại Số thuần túy nên post đây thử xem



Bài Toán : Với $n \ \geq 2 $ . Tìm hằng số $ \mathcal C(n)$ lớn nhất sao cho với mọi bộ $n$ số thực không âm$ x_1 ; x_2 ; ....; x_n $ thì bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$ (x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)( x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n) \ \geq \ \mathcal C(n) \left( x_1 + x_2 +...+ x_n \right)^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-04-2014 - 11:25

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng       cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng       sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 15/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng       sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[ilovelife]

Bài toán tương đương với:
Tìm $min$ của $\frac{\left( \sum kx_k \right) \left( \sum x^2_k \right)}{ \left( \sum x_k \right)^3 }$
[...]
Do có một số vấn đề, em chưa chắc chắn với lời giải của mình (em sẽ post sau), nhưng mọi người thử xem kết quả:
 
$C(n) = \frac{2 (n+1) (2n-1)- 2 \sqrt {2n+2}} {9 n (n-1)}$ có đúng không ?

Bài giải của em không dùng đại số thuần túy nên em sẽ post lời giải sau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 16-04-2014 - 22:23

[WhjteShadow]

Theo em nghĩ kết quả bài này là 1 hằng số gì đó liên quan đến $\pi$, vì hình dáng nó khá giống với bài toán của Fritz Carlson sau

Cho $n$ số thực dương $a_1,...,a_n$, chứng minh $\pi^2$ là hằng số tốt nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$C.(a_1^2+a_2^2+...+a_{n}^2).(1.a_1^2+2^2.a_2^2+...+n^2.a_n^2)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^4$$

Lời giải sử dụng Cauchy-Schwarz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-04-2014 - 21:17

[nguyen thi dien]

minh thu giai trong truong hop $n \geq 4$

 

.con cac truong hop khac cac ban tu lam nha.thwo de bai thi ta chi can chung minh trong truong hop $x_{n}$ la day giam.dat $y_{n}=x_{n}/n $ .khi do $y_{n}$ la mot day giam. $

 

\sum_{1}^{n}y_{k}= ln $\left ( voi l la so nguyen duong nao do \right ).khi do ta se chung minh $\sum k^{2}y_{k}\geq (\sum ky_{k}\left )( 2n-1 \right )-2ln(n-1)(n+1)/3.bang cach co dinh cac bien va chi cho 2 bien y_{k}va y_{h} thay doi sao cho tong cua chung khong doi$$dat \left ( y_{k}+y_{h} \right )/2=u,\left ( y_{k}-y_{h} \right )/2=v\left ( h\geq k \right )\Rightarrow v\geq 0.khi do dat g\left ( v \right )=k^{2}\left ( u+v \right )+h^{2}(u-v)-(2n-1)\left [ k(u+v)+h(u-v) \right ]$$\Rightarrow g{\left ( v \right )}'= (k-h)(k+h-2n+1)\geq 0.\Rightarrow g(v)\geq g\left ( 0 \right )\Rightarrow ket luan tren$$lai co (k^{2}y_{k}-k^{2}l)^{2}\geq 0\forall k.\Leftrightarrow k^{2}y_{k}^{2}\geq 2lk^{2}y_{k}-k^{2}l^{2}\Rightarrow \sum k^{2}l^{2}\geq 2l(\sum k^{2}y_{k})-l^{2}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right )/6\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(n-3)/6$$$\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6$.dat\sum ky_{k}=x.khi do ta co VT\geq [(2n-1)x-2ln(n-1)(n+1)/3]\left [ 2l(2n-1)x-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6 \right ]$.$bay gio ta chi can chung minh no\geq 2(2n+1)^{2}x^{3}/\left ( 9(n+1)n \right ).\Leftrightarrow 2(2n+1)^{2}x^{3}/(9n(n+1))-2l(2n-1)^{2}x^{2}+l^{2}n(n+1)(2n-1)(9n-5)x/2+l^{3}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}(n-1)(10n-7)/9\leq 0.dat VT =f\left ( x \right ).f{\left ( x \right )}'=2\left ( 2n+1 \right )^{2}x^{2}/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}x+l^{2}n(n+!)(2n-1)(9n-5)/2.f\left ( x \right )''=4(2n+1)^{2}x/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}.do y_{n}la day giam nen ap dung bat dang thuc cheybeychev ta co\sum ky_{k}\leq \left ( \sum k \right ).\left ( \sum y_{k} \right )/n=ln(n+1)/2.\Rightarrow f{}''(x)\leq 0.\Rightarrow f{\left ( x \right )}'\geq f{}'\left ( ln(n+1)/2 \right )\geq 0\forall n\geq 4 \right ) \right )\Rightarrow f\left ( x \right)\leq f\left ( ln(n+1)/2 \right )=0.dpcm.dau = xay ra khi y_{i}=y_{j}\forall i,j=1\overline{,n}.\Leftrightarrow x_{i}/i=x_{j}/j\forall i,j=1\overline{,n}.$neu co gi sai xot thi moi nguoi  bao cho minh qua sdt 01683459471 nha.can on nhieu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-08-2014 - 12:59

[nguyen thi dien]

minh thu giai trong truong hop n$\geq 4.con cac truong hop khac cac ban tu lam nha.thwo de bai thi ta chi can chung minh trong truong hopx_{n} la day giam.dat y_{n}=x_{n}/n.khi do y_{n} la mot day giam.$$dat \sum_{1}^{n}y_{k}= ln\left ( voi l la so nguyen duong nao do \right ).khi do ta se chung minh $\sum k^{2}y_{k}\geq (\sum ky_{k}\left )( 2n-1 \right )-2ln(n-1)(n+1)/3.bang cach co dinh cac bien va chi cho 2 bien y_{k}va y_{h} thay doi sao cho tong cua chung khong doi$$dat \left ( y_{k}+y_{h} \right )/2=u,\left ( y_{k}-y_{h} \right )/2=v\left ( h\geq k \right )\Rightarrow v\geq 0.khi do dat g\left ( v \right )=k^{2}\left ( u+v \right )+h^{2}(u-v)-(2n-1)\left [ k(u+v)+h(u-v) \right ]$$\Rightarrow g{\left ( v \right )}'= (k-h)(k+h-2n+1)\geq 0.\Rightarrow g(v)\geq g\left ( 0 \right )\Rightarrow ket luan tren$$lai co (k^{2}y_{k}-k^{2}l)^{2}\geq 0\forall k.\Leftrightarrow k^{2}y_{k}^{2}\geq 2lk^{2}y_{k}-k^{2}l^{2}\Rightarrow \sum k^{2}l^{2}\geq 2l(\sum k^{2}y_{k})-l^{2}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right )/6\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(n-3)/6$$$\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6$.dat\sum ky_{k}=x.khi do ta co VT\geq [(2n-1)x-2ln(n-1)(n+1)/3]\left [ 2l(2n-1)x-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6 \right ]$.$bay gio ta chi can chung minh no\geq 2(2n+1)^{2}x^{3}/\left ( 9(n+1)n \right ).\Leftrightarrow 2(2n+1)^{2}x^{3}/(9n(n+1))-2l(2n-1)^{2}x^{2}+l^{2}n(n+1)(2n-1)(9n-5)x/2+l^{3}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}(n-1)(10n-7)/9\leq 0.dat VT =f\left ( x \right ).f{\left ( x \right )}'=2\left ( 2n+1 \right )^{2}x^{2}/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}x+l^{2}n(n+!)(2n-1)(9n-5)/2.f\left ( x \right )''=4(2n+1)^{2}x/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}.do y_{n}la day giam nen ap dung bat dang thuc cheybeychev ta co\sum ky_{k}\leq \left ( \sum k \right ).\left ( \sum y_{k} \right )/n=ln(n+1)/2.\Rightarrow f{}''(x)\leq 0.\Rightarrow f{\left ( x \right )}'\geq f{}'\left ( ln(n+1)/2 \right )\geq 0\forall n\geq 4 \right ) \right )\Rightarrow f\left ( x \right)\leq f\left ( ln(n+1)/2 \right )=0.dpcm.dau = xay ra khi y_{i}=y_{j}\forall i,j=1\overline{,n}.\Leftrightarrow x_{i}/i=x_{j}/j\forall i,j=1\overline{,n}.$neu co gi sai xot thi moi nguoi  bao cho minh qua sdt 01683459471 nha.can on nhieu