Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 18-10-2009 - 01:21

Bài Toán :


Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :

$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$

Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$


Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-09-2018 - 20:59

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 ngocanh69

ngocanh69

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 21-09-2018 - 08:11

Giả sử $s=2^a5^b m$ với $a,b\geq 0$ và $\gcd(m,10)=1$.

Theo định lý Euler \begin{align*}
10^{\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
10^{2\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
\ldots&\\
10^{m\phi(m)}& \equiv 1 \mod m
\end{align*}
Đặt $T=10^{\phi(m)}+10^{2\phi(m)}+\cdots+10^{m\phi(m)} $ thì $T\equiv 0\mod m$ và $T$ có tổng các chữ số bằng $m$ (vì nó chứa các chỉ chứa các chữ số $0$ và $m$ chữ số $1$).

Gọi $n=\overline{TT\ldots T0\ldots0}$ gồm $2^a5^b$ số $T$ viết cạnh nhau, và viết thêm $\max(a,b)$ chữ số $0$ ở cuối. 

Rõ ràng $n$ có tổng các chữ số bằng $s=2^a5^bm$ và chia hết cho $s \mid n$.
------------------------------
Lấy ví dụ s=12 thì n=48. Từ đó ta đề xuất bài toán khó hơn.
Cho số nguyên dương $s$, tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng $s$ và $s\mid n$.  



#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:55

Giả sử s=2a5bms=2a5bm với a,b0a,b≥0 và gcd(m,10)=1gcd(m,10)=1.

Theo định lý Euler \begin{align*}
10^{\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
10^{2\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
\ldots&\\
10^{m\phi(m)}& \equiv 1 \mod m
\end{align*}
Đặt T=10ϕ(m)+102ϕ(m)++10mϕ(m)T=10ϕ(m)+102ϕ(m)+⋯+10mϕ(m) thì T0modmT≡0modm và TT có tổng các chữ số bằng mm (vì nó chứa các chỉ chứa các chữ số 00 và mm chữ số 11).

Gọi n=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯TTT00n=TT…T0…0¯ gồm 2a5b2a5b số TT viết cạnh nhau, và viết thêm max(a,b)max(a,b) chữ số 00 ở cuối. 

Rõ ràng nn có tổng các chữ số bằng s=2a5bms=2a5bm và chia hết cho sns∣n.
------------------------------
Lấy ví dụ s=12 thì n=48. Từ đó ta đề xuất bài toán khó hơn.
Cho số nguyên dương ss, tìm số nguyên dương nn nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng ss và sns∣n 


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh