Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) thoả điều kiện cho trước
Phương trinh mp (P) qua có vtpt (a;b;c) là = 0.
( 0)
Nhân xét : Để viết PT mp cần xác định một điểm thuộc (P) và một vtpt của nó.
Tuy nhiên một trong hai hoặc cả hai yếu tố trên thường bị dấu đi. Vài ví dụ về cách dấu:
- (P) song song với mp (Q) => (P) có vtpt là vtpt của (Q)
- (P) có hai vectơ chỉ phương => (P) có vtpt là tích có hướng của hai vtcp ấy
- (P) vuông góc với mp (Q) => (P) có vtcp là vtpt của (Q)
- (P) chứa đường thẳng D => (P) có vtcp là vtcp của D và qua điểm M thuộc D
Ngoài ra khi cho (P) chứa đường thẳng D => (P) thuộc chùm mặt phẳng có trục là D.
Chùm mặt phẳng : Tập hợp các mp đi qua giao tuyên của hai mp (Q): Ax+By+Cz+D = 0 và ( R ): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 (hay đi qua đường thẳng d: thì cũng thế) được gọi là một chùm mp, d gọi là trục của chùm.
mp (P) thuộc chùm có phương trinh: m(Ax+By+Cz+D) + n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0 (1) ( 0), một vtpt là: = (mA+nA’;mB+nB’;mC+nC’ )
Để xác định mp (P) ta xác định các tham số m,n.
Chú ý rằng nếu m = 0 thì (P) chính là mp ( R ). Nếu m khác 0 thì chia hai vế cho m rồi đặt k = m/n ta có pt của (P) chỉ phụ thưộc vào k.
Một số ví dụ thưòng gặp về cách tính m, n:
- (P) qua M => thế toạ độ của M vào pt của chùm => m,n
- (P) vuông góc với mp (Q) có vtpt => hai vtpt vuông góc <=> = 0. Giải ra ta được m,n
- (P) // mp (Q) có vtpt = (a,b,c) => hai vtpt cùng phương <=> (mA+nA’) : (mB+nB’) : (mC+nC’) = a:b:c => m,n
- (P) // đường thẳng d có vtcp => vtpt của (P) và vtcp của d vuông góc, suy ra cách tính m,n.
- (P) vuông góc với d =>vtpt của (P) và vtcp của d cùng phương => m,n