Định lý Papus mà thầy Nguyễn Tăng Vũ đã giới thiệu hồi sáng.
* Trường hợp tồn tại một trong hai cặp $\left( A'B,B'C \right)$ hay $\left( AB',BC' \right)$ không song song, không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử
$A'B\cap B'C=P$
Gọi $M=A'B\cap AC'$ , $N=B'C\cap AC'$, ta có hình vẽ sau
Để chứng minh $\alpha ,\beta ,\gamma$ thẳng hàng (bằng định lí Menelaus)
ta cố chứng minh đẳng thức sau
$\dfrac{\overline{\alpha N}}{\overline{\alpha P}}\cdot \dfrac{\overline{\gamma P}}{\overline{\gamma M}}\cdot \dfrac{\overline{\beta M}}{\overline{\beta N}}=1\qquad \left( * \right)$ .
Để làm điều đó ta lần lượt tìm hiểu các mối liên hệ có chứa các tỉ số $\dfrac{\overline{\alpha N}}{\overline{\alpha P}}$ , $\dfrac{\overline{\gamma P}}{\overline{\gamma M}}$ , $\dfrac{\overline{\beta M}}{\overline{\beta N}}$ .
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $B\alpha C'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{\alpha N}}{\overline{\alpha P}}\cdot \dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}}\cdot \dfrac{\overline{{C}'M}}{\overline{{C}'N}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 1 \right)$
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $A\gamma B'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{\gamma P}}{\overline{\gamma M}}\cdot \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AN}}\cdot \dfrac{\overline{B'N}}{\overline{B'P}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 2 \right)$
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $C\beta A'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{\beta M}}{\overline{\beta N}}\cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{CP}}\cdot \dfrac{\overline{A'P}}{\overline{A'M}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 3 \right)$
<< Dừng lại một tí và để ý rằng để đạt được đẳng thức $\left( * \right)$ ta cần phải có
$\dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}}\cdot \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AN}}\cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{CP}}\cdot \dfrac{\overline{{C}'M}}{\overline{{C}'N}}\cdot \dfrac{\overline{B'N}}{\overline{B'P}}\cdot \dfrac{\overline{A'P}}{\overline{A'M}}=1$ . Điều đó hướng ta đến việc >>
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $ABC$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AN}}\cdot \dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}}\cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{CP}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 4 \right)$
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $A'B'C'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{{C}'M}}{\overline{{C}'N}}\cdot \dfrac{\overline{B'N}}{\overline{B'P}}\cdot \dfrac{\overline{A'P}}{\overline{A'M}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 5 \right)$
Nhân lần lược các đẳng thức $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\left( 4 \right)\left( 5 \right)$ vế theo vế, ta suy ra được đẳng thức $\left( * \right)$ , và theo định lý Menelaus thì $\alpha ,\beta ,\gamma$ thẳng hàng.
* Trường hợp $A'B\parallel B'C$ và $AB'\parallel BC'$
Định lý Papus (Papus's Theorem)
Bắt đầu bởi Alph@, 25-10-2009 - 16:52
#1
Đã gửi 25-10-2009 - 16:52
- Yagami Raito yêu thích
#2
Đã gửi 25-10-2009 - 23:46
Bạn hãy xem thêm cách chứng minh dựa vào phép chiếu xuyên tâm và tỉ số kép bên mathscope: http://forum.mathsco...read.php?t=4986
#3
Đã gửi 17-11-2011 - 09:29
de chung minh dinh ly Papus cac ban con` co the su dung dinh ly Pascal voi luc giac suy bien noi tiep duong bac hai la cap duong thang.Ngoai ra co the su dung phuong phap toa do,phuong phap mo hinh xa anh cua mat phang afin nua~ ^^!
- phamthuylinhk36cntoan yêu thích
#4
Đã gửi 13-02-2014 - 19:31
de chung minh dinh ly Papus cac ban con` co the su dung dinh ly Pascal voi luc giac suy bien noi tiep duong bac hai la cap duong thang.Ngoai ra co the su dung phuong phap toa do,phuong phap mo hinh xa anh cua mat phang afin nua~ ^^!
bạn có thể cho mình cách chứng minh đinh lý này bằng các cách bạn nói trên được không. mình đang cần tài liệu về các cách chứng minh của định lí này ak.cám ơn bạn
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh