Chủ đề này có 9 trả lời

[Mr. Big Problem]

Các bạn làm thử bài tập này cho vui,giải ra chắc không khó lắm nhưng hãy tìm cách nào ngắn nhất :

Bài tập : Cho K,H là các nhóm con của G và H là nhóm con của cái chuẩn tắc N(K)={x i G|x.K.x^(-1)=K}.Chứng minh rằng :

(1i)HK={h.k|h in H,k in K} là một nhóm con của G

(2i)H/(H*K) đẳng cấu với HK/K,trong đó H*K nghĩa là H giao K

(xin lỗi,mình lười gõ toán,hì hì).

[Doraemon]

Có:
1i, Kiểm tra: http://dientuvietnam...metex.cgi?H<N(K).
2i, Xét đồng cấu sao cho . Đây là 1 toàn cấu, và nên áp dụng định lý đồng cấu nhóm là ra.
Không biết đã ngắn nhất chưa ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 27-06-2005 - 16:17

[Mr. Big Problem]

Lời giải của doreamon đúng rồi!

[Mr. Big Problem]

Bạn hãy chứng minh mệnh đề sau :

Mệnh đề : Cho G là một nhóm hữu hạn,H là ước chuẩn của nó và giả sử G/H là nhóm abel.Chứng minh rằng tồn tại K1,...,Km sao cho G=K0>K1>...>Km>Km+1=H và Ki/Ki+1 là nhóm cyclic với i=0..n
(kí hiệu A>B nghĩa là B là ước chuẩn của A).

[xuansang]

Ta có thể chứng minh bài toán này bằng cách xây dựng các nhóm sau:
Từ nhóm H, với g G và g H: xây dựng K = {m}.H = { m^{i}.h | i N, h H} [ {m} là nhóm cylic sinh bởi ].
Lúc đó K là nhóm con chuẩn tắc của G. Thật vậy vì G/H là nhóm Abel nên g G: gK = g m^{i}H = m^{i}g.H = m^{i}Hg = Kg. K>H.

Ta có K/H là nhóm cylic sinh bởi mH
Lại có G/K là nhóm Abel.
Tiếp tục xây dựng như vậy và vì G hữu hạn nên ta có đfcm.

[vinhspiderman]

Lời giải của bạn xuansang hay lắm.Mình đưa ra một lời giải khác.
Ta gọi một dãy G0>G1>...>Gn thỏa Gi là ước chuẩn của Gi+1 và Gi/Gi+1 abel (hay cyclic) là một tháp abel (hay cyclic).
Để giải quyết được mệnh đề trên ta cần chứng minh 2 bổ đề :

Bổ đề 1 : Cho đồng cấu f:G-->G' và G'=G'0>...>G'n là một tháp cyclic (abel).Khi đó qua ảnh ngược tháp G=G0>...>Gn cũng là tháp cyclic (abel) trong đó Gi=f^(-1)(G'i).
Chứng minh của bổ đề này đơn giản.

Bổ đề 2 : Mọi nhóm aben hữu hạn đều tồn tại một tháp cyclic hữu hạn mà phần tử cuối cùng của nó là {e}.
Chứng minh bổ đề này bằng quy nạp.

Áp dụng bổ đề 2 cho nhóm G/H rồi áp dụng bổ đề 1 cho tháp cyclic của G/H ta suy ra ĐPCM.

Đáng chú ý là mệnh đề 3 cho phép suy ra trực tiếp một kết quả khá hay là tháp abel của mọi nhóm hữu hạn đều tồn tại một mịn hóa cyclic.

[Doraemon]

Mình nghĩ rằng cái quan trọng không phải là tìm lời giải của bài này là xong mà V hãy tiếp tục chủ đề này đi.
Chẳng hạn hãy nói về tác dụng của nhóm tâm hóa hay nhóm chuẩn hóa?
Liên hệ nó với Định lý Sylow, một định lý hay!
p-nhóm con Sylow là cái mà các bạn làm topo đại số cần phải biết, cho nên các bạn hãy mở rộng topic này! V nhé !

[xuansang]

Theo như bạn doreamon đã đề cập về định lý Sylow! Sau đây xuansang này xin phép đưa ra phát biểu của định lý này, Hy vọng các bạn cho cách chứng minh hay và ngắn ngọn:
Nhóm G có m.p^{r} phần tử với p là số nguyên tố, p không là ước của m, r dĩ nhiên là số nguyên không âm. Chứng minh:
1) Có tồn tại nhóm con của G chứa p^{r} phần tử.
2)Số phần tử của nhóm con trên là n:
CM: n 1 (mod |G|) và n|m.

[Mr. Big Problem]

Mình nghĩ rằng cái quan trọng không phải là tìm lời giải của bài này là xong mà V hãy tiếp tục chủ đề này đi.

doreamon chắc là đoán mình là V... vì hôm trước mình mượn tạm ảnh của cậu ấy làm avarta hả?Thật ra Mr. Big Problem không phải là V đâu (còn là ai thì là một "big problem").
Còn pót bài nhận xét hay phát thảo về một kiến thức nào đó thì Mr.BP không làm được vì tôi là "big problem" chỉ chuyên pót lên "mathematical big problem" thôi,khà khà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr. Big Problem: 02-07-2005 - 07:08

[Ham_Toan]

Bạn hãy chứng minh mệnh đề sau :

Mệnh đề : Cho G là một nhóm hữu hạn,H là ước chuẩn của nó và giả sử G/H là nhóm abel.Chứng minh rằng tồn tại K1,...,Km sao cho G=K0>K1>...>Km>Km+1=H và Ki/Ki+1 là nhóm cyclic với i=0..n
(kí hiệu A>B nghĩa là B là ước chuẩn của A).

Đây là một MĐ khá hay, có thể tìm đọc trong quyển sách kinh điển của S.Lang về Đại số.]

Cách CM nào củng hay cả ! TUYỆT !!