Chủ đề này có 4 trả lời

[Mr.Tung]

Tìm hệ số của số hạng không chứa biến x trong biểu thức sau :
$(3x + \sqrt[3]{x})^{16} $
Các anh hãy đưa ra bài toán tổng quát của bài toán trên và chứng minh

PS : Giúp Em ý hai các anh nha ,ý một thì đơn giản rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 27-10-2009 - 11:34

[inhtoan]

Tìm hệ số của số hạng không chứa biến x trong biểu thức sau :
$(3x + \sqrt[3]{x})^{16} $
Các anh hãy đưa ra bài toán tổng quát của bài toán trên và chứng minh

PS : Giúp Em ý hai các anh nha ,ý một thì đơn giản rồi

Bài toán tổng quát:

Chứng minh rằng Mọi số hạng của khai triển $(ax+\sqrt[a]{x})^n ( n, a \in N^*) (1)$ đều chứa biến x.

Ta có: $(ax+\sqrt[a]{x})^n= \sum\limits_{i=1}^{n} C_n^k ( \sqrt[a]{x})^k.(ax)^{n-k} (0 \leq k \leq n ; k \in N)$
Số hạng tự do có số mũ của x là 0 nên ta có: $\dfrac{k}{a}+n-k=0 (0 \leq k \leq n; k \in N) \Leftrightarrow k(a-1)=na$
_Nếu $a=1$ ta có (1) trở thành $x^n $
_Nếu $a \neq 1$ ta có: $k=\dfrac{na}{a-1}$.
Vì $a>a-1 \Rightarrow \dfrac{a}{a-1}>1 \Rightarrow k=\dfrac{na}{a-1}>n$ (Trái với điều kiện $0 \leq k \leq n ; k \in N$.)

[Mr.Tung]

Bài toán tổng quát:

Chứng minh rằng Mọi số hạng của khai triển $(ax+\sqrt[a]{x})^n ( n, a \in N^*) (1)$ đều chứa biến x.

Ta có: $(ax+\sqrt[a]{x})^n= \sum\limits_{i=1}^{n} C_n^k ( \sqrt[a]{x})^k.(ax)^{n-k} (0 \leq k \leq n ; k \in N)$
Số hạng tự do có số mũ của x là 0 nên ta có: $\dfrac{k}{a}+n-k=0 (0 \leq k \leq n; k \in N) \Leftrightarrow k(a-1)=na$
_Nếu $a=1$ ta có (1) trở thành $x^n $
_Nếu $a \neq 1$ ta có: $k=\dfrac{na}{a-1}$.
Vì $a>a-1 \Rightarrow \dfrac{a}{a-1}>1 \Rightarrow k=\dfrac{na}{a-1}>n$ (Trái với điều kiện $0 \leq k \leq n ; k \in N$.)

Nếu bài toán trên anh chứng mình là mọi số hạng của khai triển trên đều chứa biến x thì bài toán cụ thể ở trên là bỏ ah ! ( có kết quả 147420 ) ! EM cũng chưa hiểu ý anh !

[inhtoan]

Nếu bài toán trên anh chứng mình là mọi số hạng của khai triển trên đều chứa biến x thì bài toán cụ thể ở trên là bỏ ah ! ( có kết quả 147420 ) ! EM cũng chưa hiểu ý anh !

Bài toán ban đầu là tìm ra được k nhưng nó không thỏa mãn điều kiện $\leq 16$ nên loại.

[Mr.Tung]

Anh ơi anh xem hộ em bài này , bài trên em cho nhầm đề bài em định hỏi tổng quát hóa ( hôm nọ ở quán nên ...... ( ) Vẫn với dề bài yêu cầu như trên
$ (\dfrac{a}{x} +\sqrt[a]{x})^{n} $

PS : Em xin lỗi vì sự cố trên ! ANh hãy tổng quát và chứng minh bài trên cho em ( còn đáp án với trường hợp cụ thể trên thì em làm đựoc rồi )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr.Tung: 27-10-2009 - 20:15