Đến nội dung


Hình ảnh

Đề khảo sát ĐT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2009-2010


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 08-11-2009 - 13:44

Đề khảo sát ĐT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2009-2010

Bài 1: Giải HPT với $a, b, c, d, e \in \left[-2;2 \right] $ thỏa mãn:
$i. a + b + c + d + e = 0$
$ii. a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} + e^{3} = 0$
$iii. a^{5} + b^{5} + c^{5} + d^{5} + e^{5} = 10$

Bài 2: Cho tam giác$ABC$. Gọi $(I)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $A_1, B_1, C_1$ lần lượt thuộc $AI, BI, CI$. Trung trực của $AA_1, BB_1, CC_1$ cắt nhau tạo thành tam giác $A_2, B_2, C_2$. CMR tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC, A_2B_2C_2$ trùng nhau khi và chỉ khi $I$ là trực tâm tam giác $A_1B_1C_1$

Bài 3: Cho $P(x) = a{x}^{3} + b{x}^{2} + cx + d$ thỏa mãn $\left|P(x) \right| \leq 1$ với mọi $\left|x \right| \leq 1$. CMR:
$\left|a \right| + \left|b \right| + \left|c \right| + \left|d\right| \leq 7$.

Bài 4: Trong một kì thi, 49 học sinh phải giải 3 bài toán với số điểm từ 0 đến 7. CMR: luôn tồn tại 2 học sinh A và B sao cho điểm của A luôn không thấp hơn điểm của B.

"God made the integers, all else is the work of men"


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-09-2013 - 18:03

Bài 3: Cho $P(x) = a{x}^{3} + b{x}^{2} + cx + d$ thỏa mãn $\left|P(x) \right| \leq 1$ với mọi $\left|x \right| \leq 1$. CMR:
$\left|a \right| + \left|b \right| + \left|c \right| + \left|d\right| \leq 7$.

Áp dụng công thức nội suy $Lagrange$ cho $P(x)$ với bốn số $-1,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{2}$ :

$P(x)=P(-1).\frac{(x-1)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{(-1-1)(-1-\frac{1}{2})(-1+\frac{1}{2})}+P(1).\frac{(x+1)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})}{(1+1)(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})}+P\left ( \frac{1}{2} \right ).\frac{(x-1)(x+1)(x+\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}+P\left ( \frac{-1}{2} \right ).\frac{(x-\frac{1}{2})(x-1)(x+1)}{(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}+1)}=P(-1).\frac{(x-1)(4x^{2}-1)}{-6}+P(1).\frac{(x+1)(4x^{2}-1)}{6}+P\left ( \frac{1}{2} \right ).\frac{(4x+2)(x^{2}-1)}{-3}+P\left ( -\frac{1}{2} \right ).\frac{(4x-2)(x^{2}-1)}{3}=\left [ \frac{-2}{3}P(-1)+\frac{2}{3}P(1)-\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right ]x^{3}+\left [ \frac{2}{3}P(-1)+\frac{2}{3}P(1)-\frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )-\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right ]x^{2}+\left [ \frac{1}{6}P(-1)-\frac{1}{6}P(1)+\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )-\frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right ]x+\left [ -\frac{1}{6}P(-1)-\frac{1}{6}P(1)+\frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right ]$

Đồng nhất hệ số :

$\bigstar$ $a= \frac{-2}{3}P(-1)+\frac{2}{3}P(1)-\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )$ $\Rightarrow \left | a \right |\leq \left | \frac{2}{3}P(1)-\frac{2}{3}P(-1) \right |+\left | \frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )-\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right ) \right |$

$\bigstar$ $b=\frac{2}{3}P(-1)+\frac{2}{3}P(1)-\frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )-\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )$ $\Rightarrow \left | b \right |\leq \left | \frac{2}{3}P(1)+\frac{2}{3}P(-1) \right |+\left | \frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right |$

$\bigstar$ $c= \frac{1}{6}P(-1)-\frac{1}{6}P(1)+\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )-\frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )$ $\Rightarrow \left | c \right |= \frac{1}{6}P(-1)-\frac{1}{6}P(1)+\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )-\frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )\leq \left | \frac{1}{6}P(-1) -\frac{1}{6}P(1)\right |+2.\left | \frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right ) -\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )\right |$

$\bigstar$ $d=-\frac{1}{6}P(-1)-\frac{1}{6}P(1)+\frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )$ $\Rightarrow \left | d \right |=-\frac{1}{6}P(-1)-\frac{1}{6}P(1)+\frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right )\leq \left | \frac{1}{6}P(-1)+\frac{1}{6}P(1) \right |+\left | \frac{2}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{2}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right |$

 

Từ đó chú đến bất đẳng thức $\left | a+b \right |+\left | a-b \right |\leq max\left \{ 2\left | a \right |,2\left | b \right | \right \}$ và $\left | P(1) \right |\leq 1,\left | P(-1) \right |\leq 1,\left | P\left ( \frac{1}{2} \right ) \right |\leq 1,\left | P\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right |\leq 1$, ta có :

$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | d \right |\leq 3.max\left \{ 2\left | \frac{2}{3}P(-1) \right |,2\left | \frac{2}{3}P(1) \right | \right \}+max\left \{ 2\left | \frac{1}{6}P(-1) \right |,2\left | \frac{1}{6}P(1) \right | \right \}+ \left | \frac{4}{3}P\left ( -\frac{1}{2} \right ) -\frac{4}{3}P\left ( \frac{1}{2} \right )\right | \leq 3.2.\frac{2}{3}.1+2.\frac{1}{6}.2.\frac{4}{3}=7$ 

$\blacksquare$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-09-2013 - 18:14

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh