Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi Tp Cần Thơ 2009-2010


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 10-11-2009 - 11:43

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
______________________

ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009 – 2010
KHÓA NGÀY 06/11/2009
__________

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề



Câu 1
Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình
$3x^2 + 11x - 1 = 13\sqrt {2x^3 + 2x^2 + x - 1}$

Câu 2
Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị ©.
1. Gọi M là một điểm thuộc © có hoành độ $x_0 \ne 0$ . Chứng minh tiếp tuyến của © tại M luôn cắt © tại một điểm $M_1$ khác M. Xác định hoành độ của $M_1$
2. Cho A, B, C là 3 điểm phân biệt, thẳng hàng, có hoành độ khác 0 và cùng thuộc ©. Tiếp tuyến của © tại A, B, C cắt © lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$ đôi một khác nhau. Chứng minh ba điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng.

Câu 3
1. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {x^3 } - \dfrac{3}{2}x$ trên khoảng $\left( {0, + \infty } \right)$.
2. Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{b^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{b^3 }}{{c^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{c^3 }}{{a^3 }}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ .
Câu 4
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn $ (T) $đi qua hai điểm $A(6;-1), B(2,3)$ và tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):\left( {x - 5} \right)^2 + \left( {y - 3} \right)^2 = 1$

Câu 5
Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} P\left( 1 \right) = 2010 \\ \left( {x - y} \right)P\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)P\left( {x - y} \right) = 4xy\left( {x^2 - y^2 } \right),\forall x,y \in R \\ \end{array} \right.$

Câu 6
Cho hình chóp S.ABC. Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là các điểm di động trên các cạnh SA, SB, SC sao cho: $\dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}} = 4.$
1. Chứng minh mặt phẳng $(A'B'C')$ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Xác định vị trí của $A',B'$ và $C'$ để thể tích khối đa diện $ABCC'B'A'$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 7
Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn
$x^2 + 15y^2 + 8xy - 8x - 36y - 28 = 0.$
Quy ẩn giang hồ

#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 28-09-2013 - 19:33

Câu 5

Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} P\left( 1 \right) = 2010 \\ \left( {x - y} \right)P\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)P\left( {x - y} \right) = 4xy\left( {x^2 - y^2 } \right),\forall x,y \in R \\ \end{array} \right.$

Thế $x=2y$ : $yP(3y)-3y.P(y)=24y^{4}\Rightarrow degP(y)=3$

Thế $x=y$ : $P(0)\equiv 0$

Từ hai điều trên suy ra $P(y)=ay^{3}+by^{2}+cy$ ($a$ khác $0$).

Thay vào và đồng nhất hệ số : $a=1,b=0$.

Do đó $P(x)=x^{3}+cx$

$P(1)=2010\Rightarrow c=2009$. 

Kết luận : $P(x)=x^{3}+2009x$.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 29-09-2013 - 08:32

Bài 3:

 (a) :Đặt $\sqrt{x}=a\geq 0$ .Ta có :y=$\sqrt{x^3}-\frac{3}{2}x=a^3-\frac{3a}{2}=> 2y=2a^3-3a^2=2a^2(a-1)-a(a-1)-(a-1)-1=(a-1)(2a^2-a-1)-1=(a-1)(2a(a-1)+(a-1))-1=(a-1)^2(2a+1)-1\geq -1= > 2y\geq -1= > y\geq \frac{-1}{2}$  nên

Y Min =$\frac{-1}{2}< = > a=1< = > x=1$

 (b):Áp dụng bdt cosi cho 3 số ta có :

 $\sqrt{(\frac{a}{b})^3}+\sqrt{(\frac{a}{b})^3}+1\geq 3\sqrt[3]{(\frac{a}{b})^3}=3\frac{a}{b}= > 2\sqrt{(\frac{a}{b})^3}+1\geq \frac{3a}{b}$.Tương tự :$2\sqrt{(\frac{b}{c})^2}+1\geq \frac{3b}{c},2\sqrt{(\frac{c}{a})^3}+1\geq \frac{3c}{a}$ .Công theo vế các bdt ta có :

 $2(\sqrt{(\frac{a}{b})^3}+\sqrt{(\frac{b}{c})^3}+\sqrt{(\frac{c}{a})^3})+3\geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$(1)

Theo bdt cosi cho 3 số ta có :$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3$(2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta có :$2(\sqrt{(\frac{a}{b})^3}+\sqrt{(\frac{b}{c})^3}+\sqrt{(\frac{c}{a})^3})+3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})= > \sqrt{(\frac{a}{b})^3}+\sqrt{(\frac{b}{c})^3}+\sqrt{(\frac{c}{a})^3}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$(đpcm)

 Dấu = xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-09-2013 - 08:33


#4 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 29-09-2013 - 08:41

Câu 7: Ta có :$x^2+15y^2+8xy-8x-36y-28=0< = > x^2+2x(4y-4)+(15y^2-36y-28)=0$.Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn x .

Xét $\Delta '=(4y-4)^2-(15y^2-36y-28)=16y^2-32y+16-15y^2+36y+28=y^2+4y+64$$\Delta '=(4y-4)^2-(15y^2-36y-28)=16y^2-32y+16-15y^2+36y+28=y^2+4y+64$ .

Để phương trinh có nghiệm nguyên $< = > \Delta '$ là số chính phương $< = > y^2+4y+64$ là chính phương .Đặt $y^2+4y+6a=a^2$$< = > a^2-(y+2)^2=60< = > (a-y-2)(a+y+2)=60$.

Den đây xét các ước rồi thao vào đề bài tìm ra x,y


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-09-2013 - 08:42


#5 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 29-09-2013 - 09:23

Câu 7

$x^{2} + 15y^{2} + 8xy - 8x - 36y - 28 = 0$

$\Leftrightarrow$ (x + 3y - 6). (x + 5y - 2) = 40 (1) 

 

Vì x, y nguyên dương nên $\left\{\begin{matrix} x + 3y - 6 \geq -2\\x + 5y - 2 \geq 4 \end{matrix}\right.$

40 có tất cả các ước nguyên dương là 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Lại có (x + 3y - 6) + (x + 5y -2) = 2. (x + 4y - 4) nên x + 3y - 6 và x + 5y -2 cùng tính chẵn lẻ.  

Và x + 5y - 2 > x + 3y - 6 

Do đó từ (1) suy ra các trường hợp sau :

 

- Trường hợp 1 : $\left\{\begin{matrix} x + 3y - 6 = 2\\x + 5y - 2 = 20 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = -13\\y = 7 \end{matrix}\right.$ (loại)

 

- Trường hợp 2 : $\left\{\begin{matrix} x + 3y - 6 =  4\\x + 5y - 2 = 10 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 7\\y = 1 \end{matrix}\right.$

 Vậy $\left\{\begin{matrix} x = 7 \\y = 1 \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 29-09-2013 - 09:24

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#6 dunghoiten

dunghoiten

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:โรงเรียน
  • Sở thích:$\mathbb{V}.\mathbb{I}.\mathbb{P}$

Đã gửi 30-10-2016 - 00:35

Bài 2 giải như thế nào ak


   tumblr_nsj13dqhY81u55xnmo4_500.gif

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh