SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
______________________
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009 – 2010
KHÓA NGÀY 06/11/2009
__________
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1
Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình
$3x^2 + 11x - 1 = 13\sqrt {2x^3 + 2x^2 + x - 1}$
Câu 2
Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị ©.
1. Gọi M là một điểm thuộc © có hoành độ $x_0 \ne 0$ . Chứng minh tiếp tuyến của © tại M luôn cắt © tại một điểm $M_1$ khác M. Xác định hoành độ của $M_1$
2. Cho A, B, C là 3 điểm phân biệt, thẳng hàng, có hoành độ khác 0 và cùng thuộc ©. Tiếp tuyến của © tại A, B, C cắt © lần lượt tại $A_1, B_1, C_1$ đôi một khác nhau. Chứng minh ba điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng.
Câu 3
1. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {x^3 } - \dfrac{3}{2}x$ trên khoảng $\left( {0, + \infty } \right)$.
2. Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{b^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{b^3 }}{{c^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{c^3 }}{{a^3 }}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ .
Câu 4
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn $ (T) $đi qua hai điểm $A(6;-1), B(2,3)$ và tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):\left( {x - 5} \right)^2 + \left( {y - 3} \right)^2 = 1$
Câu 5
Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l} P\left( 1 \right) = 2010 \\ \left( {x - y} \right)P\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)P\left( {x - y} \right) = 4xy\left( {x^2 - y^2 } \right),\forall x,y \in R \\ \end{array} \right.$
Câu 6
Cho hình chóp S.ABC. Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là các điểm di động trên các cạnh SA, SB, SC sao cho: $\dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}} = 4.$
1. Chứng minh mặt phẳng $(A'B'C')$ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Xác định vị trí của $A',B'$ và $C'$ để thể tích khối đa diện $ABCC'B'A'$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 7
Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn
$x^2 + 15y^2 + 8xy - 8x - 36y - 28 = 0.$