Chủ đề này có 2 trả lời

[let]

Thời gian: 180 phút.
Bài 1:
Tìm các đa thức $P(x,y)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x,y)=P(x+y,y-x) \ \forall x,y\in R$.
Bài 2:
Chứng minh rằng: $|{12^m-5^n}|\geq 7\ \forall m,n \in N^*$.
Bài 3:
Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn C, với $L, N \in C$. Lấy M bất kỳ trên đường thẳng KN (M, K khác phía so với N). Giả sử C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ 2 là P. Q là chân đường vuông góc hạ từ N xuống ML.
Chứng minh rằng: $\angle {MPQ}=2\angle {KML}$.
Bài 4:
Cho dãy số: $a_1=a_2=12\sqrt2,a_{n+1}=-a_n\sqrt{a_{n-1}^2+1}+a_{n-1}\sqrt{a_n^2+1}\ \forall n\geq2$.
Chứng minh rằng: $\sqrt{2+2\sqrt{a_n^2+1}}\in N \ \forall n\geq1$.
Bài 5:
Chứng minh rằng: Có thể tô màu mỗi phần tử của tập $\{1;2;3;...;2009\}$ bằng một trong hai màu đen trắng sao cho mọi cấp số cộng công sai khác 0 gồm 18 phần tử của A đều được tô bởi đủ cả 2 màu.

[thuan192]

Thời gian: 180 phút.
Bài 1:
Tìm các đa thức $P(x,y)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x,y)=P(x+y,y-x) \ \forall x,y\in R$.
Bài 2:
Chứng minh rằng: $|{12^m-5^n}|\geq 7\ \forall m,n \in N^*$.
Bài 3:
Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn C, với $L, N \in C$. Lấy M bất kỳ trên đường thẳng KN (M, K khác phía so với N). Giả sử C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM tại điểm thứ 2 là P. Q là chân đường vuông góc hạ từ N xuống ML.
Chứng minh rằng: $\angle {MPQ}=2\angle {KML}$.
Bài 4:
Cho dãy số: $a_1=a_2=12\sqrt2,a_{n+1}=-a_n\sqrt{a_{n-1}^2+1}+a_{n-1}\sqrt{a_n^2+1}\ \forall n\geq2$.
Chứng minh rằng: $\sqrt{2+2\sqrt{a_n^2+1}}\in N \ \forall n\geq1$.
Bài 5:
Chứng minh rằng: Có thể tô màu mỗi phần tử của tập $\{1;2;3;...;2009\}$ bằng một trong hai màu đen trắng sao cho mọi cấp số cộng công sai khác 0 gồm 18 phần tử của A đều được tô bởi đủ cả 2 màu.

Bài 5: Do mỗi phần tử chỉ tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng, nên số cách tô màu 2009 số này là $2^{2009}$. Ta đếm số cách tô màu sao cho có một cấp số cộng gồm 18 số cùng màu. Ta sẽ tô 18 số này cùng màu và tô màu tùy ý cho 1991 số còn lại. Số cách tô để có một cấp số cộng có 18 số cùng màu sẽ nhỏ hơn $a.2^{1992}$, do sẽ có những cách trùng nhau trong các cách tô này ( a là số lượng CSC gồm 18 số )

Ta đi chứng minh số cách tô xuất hiện CSC cùng màu nhỏ hơn tổng số cahs tô. Khi đó sẽ có một cách tô mà không có 18 số cùng màu nào lập thành CSC. Tức cần chứng minh $a<2^{17}$

Xét cấp số cộng x,x+d,x+2d,...x+17d, trong đó x,d>0 và $x+17d\leq 2009$. Tức $d\leq \frac{2009-x}{17}$. Do x là một phần tử bất kì của tập nên ta sẽ được

              $a\leq \sum_{k=1}^{2009}\frac{2009-k}{17}=\frac{2009.2010}{17.2}< 2^{17}$

Ta có đpcm

[thuan192]

bài 2: đầu tiên ta giả sử tồn tai số nguyên dương m,n sao cho $\left | 12^{m}-5^{n} \right |< 7$

ta sẽ suy ra được  $\left | 12^{m}-5^{n} \right |=1$

 Ta chia làm 2 trường hợp và xét tính chia hết