Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$x^2+3xz+z^2=1 \\ 3y^2+3yz+z^2=4 \\ x^2-xy+y^2=m$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-06-2005 - 21:15

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+3xz+z^2=1 \\ 3y^2+3yz+z^2=4 \\ x^2-xy+y^2=m \end{matrix}\right.$$
1728

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-12-2012 - 20:19

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 20/12 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-02-2013 - 20:42

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 21-12-2012 - 19:47

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+3xz+z^2=1 (1)\\ 3y^2+3yz+z^2=4 (2) \\ x^2-xy+y^2=m (3)\end{matrix}\right.$$

Xét x=y=z=0 không phải là nghiệm của hệ
*Nếu x=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}z^2=1 & & \\ 3y^2+3yz+z^2=4 & & \\ y^2=m & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$
*Nếu y=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2+3xz+z^2=1 & & & \\ z^2=4 & & & \\ x^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=15\pm 6\sqrt{6}$
*Nếu z=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2=1 & & & \\ 3y^2=4 & & & \\ x^2-xy+y^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4}$
*Nếu x,y,z khác 0
Đặt $x=ay,x=bz\Rightarrow x=ay=bz$ $(a,b\neq 0)$
$\Rightarrow y=\frac{bz}{a},x^2=axy$ hay $y^2=\frac{b^2z^2}{a^2},xy=\frac{x^2}{a}$
$(1)\Leftrightarrow bz^2+3bz.\frac{bz}{a}+z^2=1\Leftrightarrow z^2=\frac{a}{ab^2+a+3b^2}$
$\Rightarrow y^2=\frac{b^2}{a(ab^2+a+3b^2)},x^2=\frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}$
$(2)\Leftrightarrow \frac{3b^2}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{3b.a}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{a}{ab^2+a+3b^2}=4$ $\Leftrightarrow 3b^2+3ab-4a^2b^2-12ab^2-3a^2=0$ (*)
Ta có $(1)\Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}+\frac{a}{ab62+a+3b^2}+\frac{3ab^2}{ab^2+a+3b^2}=1\Leftrightarrow (ab^2-b^2)(a+3)=0\Leftrightarrow a=1\vee a=-3,(b\neq 0)$
Với a=1 thay vào (*) ta được $-13b^2+3b-3=0$ (Vô nghiệm)
Với a=-3 thay vào (*) ta được $b^2-3b-9=0\Leftrightarrow b=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $x=-3y$ và thay vào (1) ta được $z^2=1\Leftrightarrow z=\pm 1$
Nếu $b=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$ thì:
* z=1$\Rightarrow y=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1$\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=-\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
Nếu $b=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$ thì
* z=1 $\Rightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow \frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1 $\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
Thử lại m thỏa yêu cầu bài toán
Vậy $m\in \left \{ \frac{39\pm 13\sqrt{5}}{2};\frac{3\pm \sqrt{5}}{2};15\pm 6\sqrt{6};\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4} \right \}$ thì hệ có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 22-12-2012 - 07:23


#4 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 22-12-2012 - 07:24

Bây giờ thấy bài giải ổn hơn 1 chút

#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:40

Chấm điểm

Primary: 50 điểm

:D

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#6 rongthan

rongthan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Đã gửi 16-02-2013 - 18:59

Xét x=y=z=0 không phải là nghiệm của hệ
*Nếu x=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}z^2=1 & & \\ 3y^2+3yz+z^2=4 & & \\ y^2=m & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$
*Nếu y=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2+3xz+z^2=1 & & & \\ z^2=4 & & & \\ x^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=15\pm 6\sqrt{6}$
*Nếu z=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2=1 & & & \\ 3y^2=4 & & & \\ x^2-xy+y^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4}$
*Nếu x,y,z khác 0
Đặt $x=ay,x=bz\Rightarrow x=ay=bz$ $(a,b\neq 0)$
$\Rightarrow y=\frac{bz}{a},x^2=axy$ hay $y^2=\frac{b^2z^2}{a^2},xy=\frac{x^2}{a}$
$(1)\Leftrightarrow bz^2+3bz.\frac{bz}{a}+z^2=1\Leftrightarrow z^2=\frac{a}{ab^2+a+3b^2}$
$\Rightarrow y^2=\frac{b^2}{a(ab^2+a+3b^2)},x^2=\frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}$

$(2)\Leftrightarrow \frac{3b^2}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{3b.a}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{a}{ab^2+a+3b^2}=4$ $\Leftrightarrow 3b^2+3ab-4a^2b^2-12ab^2-3a^2=0$ (*)
Ta có $(1)\Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}+\frac{a}{ab62+a+3b^2}+\frac{3ab^2}{ab^2+a+3b^2}=1\Leftrightarrow (ab^2-b^2)(a+3)=0\Leftrightarrow a=1\vee a=-3,(b\neq 0)$
Với a=1 thay vào (*) ta được $-13b^2+3b-3=0$ (Vô nghiệm)
Với a=-3 thay vào (*) ta được $b^2-3b-9=0\Leftrightarrow b=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $x=-3y$ và thay vào (1) ta được $z^2=1\Leftrightarrow z=\pm 1$
Nếu $b=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$ thì:
* z=1$\Rightarrow y=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1$\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=-\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
Nếu $b=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$ thì
* z=1 $\Rightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow \frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1 $\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
Thử lại m thỏa yêu cầu bài toán
Vậy $m\in \left \{ \frac{39\pm 13\sqrt{5}}{2};\frac{3\pm \sqrt{5}}{2};15\pm 6\sqrt{6};\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4} \right \}$ thì hệ có nghiệm

Chỗ bôi đỏ mình thấy không được chính xác cho lắm. Theo mình nghĩ thì chỗ bôi xanh hoàn toàn suy ra từ $(1)$ bây giờ bạn lại thay nguyên vào $(1)$ mình nghĩ sẽ ra điều hiển nhiên mới đúng chứ?? Không tin hãy thay lại thử xem!!!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh