Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển KHTN năm 2009-2010 (vòng 2)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 23-11-2009 - 20:04

Ngày thứ nhất


Bài 1: Dãy số $\{a_n\}$ được xác định như sau: $a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6$ và $a_{n + 4} = 2a_{n + 3} + a_{n + 2} - 2a_{n + 1} - a_n, \forall n \geq 0.$
a) CMR: $a_n$ chia hết cho $n$ với mọi $n \geq 1$.
b) CMR dãy số $\dfrac{a_1}{1}, \dfrac{a_2}{2}, ..., \dfrac{a_n}{n}$ có vô hạn số chia hết cho $2009$.

Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f: R^{+} \Rightarrow R^{+}$ sao cho $f(x^{3} + y) = [f(x)]^{3} + \dfrac{f(xy)}{f(x)}$ với mọi $x, y \in R^{+}$

Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B,C sao cho B,C không phải là đường kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B,C). Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Cho trước số thực a khác 1 và gọi K là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC. Vẽ đường thẳng d qua K và vuông góc với HN. CMR: d luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.

Bài 4: Cho tập hợp A gồm $n \geq 5$ phần tử. Xét k tập con bất kì gồm 3 phần tử của A. Hãy tìm số k nhỏ nhất sao cho với mọi cách chọn k tập con trên luôn tồn tại 2 tập con có chung nhau đúng 1 phần tử.

"God made the integers, all else is the work of men"


#2 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 24-11-2009 - 16:53

Ngày thứ hai


Bài 1: Tìm tất cả các bộ số tự nhiên $a, b, c, d$ đôi một phân biệt thỏa mãn: $a^{2 } - b^{2} = b^{2} - c^{2} = c^{2} - d^{2}$

Bài 2: Tìm tất cả các hàm liên tục $f : R \rightarrow R$ thỏa mãn:
1/ $f$ đơn ánh.
2/ $f[2x - f(x)] = x$
3/ Tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) = x_0$

Bài 3: Cho 2 đường thẳng $a, b$ cắt nhau tại $M$ và không vuông góc với nhau. Dựng parabol tiếp xúc $a$ tại $A$ và tiếp xúc $b$ tại $B$, với $A, B$ là 2 điểm cho trước thuộc $a, b$.

Bài 4: Cho $f(x,y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2} (a, b, c \in R)$ và $D = ac - b^{2} > 0$. Chứng minh rằng tồn tại $u, v \in Z$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $|f(u,v)| \le 2\sqrt{\dfrac{D}{3}}$

"God made the integers, all else is the work of men"





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh