Ngày thứ nhất
Bài 1: Dãy số $\{a_n\}$ được xác định như sau: $a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6$ và $a_{n + 4} = 2a_{n + 3} + a_{n + 2} - 2a_{n + 1} - a_n, \forall n \geq 0.$
a) CMR: $a_n$ chia hết cho $n$ với mọi $n \geq 1$.
b) CMR dãy số $\dfrac{a_1}{1}, \dfrac{a_2}{2}, ..., \dfrac{a_n}{n}$ có vô hạn số chia hết cho $2009$.
Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f: R^{+} \Rightarrow R^{+}$ sao cho $f(x^{3} + y) = [f(x)]^{3} + \dfrac{f(xy)}{f(x)}$ với mọi $x, y \in R^{+}$
Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B,C sao cho B,C không phải là đường kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B,C). Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Cho trước số thực a khác 1 và gọi K là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC. Vẽ đường thẳng d qua K và vuông góc với HN. CMR: d luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.
Bài 4: Cho tập hợp A gồm $n \geq 5$ phần tử. Xét k tập con bất kì gồm 3 phần tử của A. Hãy tìm số k nhỏ nhất sao cho với mọi cách chọn k tập con trên luôn tồn tại 2 tập con có chung nhau đúng 1 phần tử.